PROPIEDAD

El software de control óptimo PROPT ^{[ 1 ]} MATLAB es una plataforma de nueva generación para resolver problemas de control óptimo aplicado (con formulación ODE o DAE ) y estimación de parámetros .

La plataforma fue desarrollada por Per Rutquist , ganador del concurso de programación de MATLAB, en 2008. La versión más reciente admite variables binarias y enteras, además de contar con un módulo de escalado automático.

PROPT es un motor combinado de modelado , compilación y resolución, basado en la clase de modelado TomSym , para la generación de problemas de control óptimo de alta complejidad. PROPT utiliza un método de colocación pseudoespectral (con puntos de Gauss o Chebyshev) para resolver problemas de control óptimo. Esto significa que la solución adopta la forma de un polinomio , el cual satisface la ecuación diferencial algebraica (EDA) y las restricciones de trayectoria en los puntos de colocación.

En general, PROPT tiene las siguientes funciones principales:

• Cálculo de las matrices constantes utilizadas para la diferenciación e integración de los polinomios empleados para aproximar la solución al problema de optimización de trayectorias .
• Transformación de la fuente para convertir expresiones proporcionadas por el usuario en código MATLAB para la función de costo.${\displaystyle f}$y función de restricción${\displaystyle c}$que se pasan a un solucionador de programación no lineal en TOMLAB . El paquete de transformación de fuentes TomSym genera automáticamente derivadas de primer y segundo orden.
• Funcionalidad para graficar y calcular diversa información para la solución del problema.
• Detección automática de lo siguiente:
  • Objetivo lineal y cuadrático.
  • Límites simples, restricciones lineales y no lineales.
  • Expresiones no optimizadas.
• Soporte integrado para problemas de control óptimo no suaves ^{[ 2 ] (híbridos).}
• Módulo para el escalado automático de problemas complejos relacionados con el espacio.
• Compatibilidad con variables, controles o estados binarios y enteros.

El sistema PROPT utiliza el motor de transformación de código fuente simbólico TomSym para modelar problemas de control óptimo. Es posible definir variables independientes , funciones dependientes, escalares y parámetros constantes:

toms tf toms t p = tomPhase ( 'p' , t , 0 , tf , 30 ); x0 = { tf == 20 }; cbox = { 10 <= tf <= 40 };toms z1 cbox = { cbox ; 0 <= z1 <= 500 }; x0 = { x0 ; z1 == 0 };ki0 = [ 1e3 ; 1e7 ; 10 ; 1e-3 ];

tomStates x1 x0 = { icollocate ({ x1 == 0 })};tomControls u1 cbox = { - 2 <= colocar ( u1 ) <= 1 }; x0 = { x0 ; colocar ( u1 == - 0.01 )};

cbnd = initial ( x1 == 1 ); % Punto de inicio para x1 cbnd = final ( x1 == 1 ); % Punto final para x1 cbnd = final ( x2 == 2 ); % Punto final para x2 pathc = collocate ( x3 >= 0.5 ); % Restricción de ruta para x3 intc = { integrate ( x2 ) == 1 }; % Restricción integral para x2 cbnd = final ( x3 >= 0.5 ); % Restricción de evento final para x3 cbnd = initial ( x1 <= 2.0 ); % Restricción de evento inicial x1

Oscilador de Van der Pol ^{[ 3 ]}

Minimizar:

${\displaystyle {\begin{matrix}J_{x,t}&=&x_{3}(t_{f})\\\end{matrix}}}$

Sujeto a:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=(1-x_{2}^{2})*x_{1}-x_{2}+u\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{1}\\{\frac {dx_{3}}{dt}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+u^{2}\\x(t_{0})=[0\ 1\ 0]\\t_{f}=5\\-0.3\leq u\leq 1.0\\\end{cases}}}$

Para resolver el problema con PROPT se puede utilizar el siguiente código (con 60 puntos de colocación):

toms t p = tomPhase ( 'p' , t , 0 , 5 , 60 ); setPhase ( p );tomStates x1 x2 x3 tomControls u% Suposición inicial x0 = { icollocate ({ x1 == 0 ; x2 == 1 ; x3 == 0 }) colocar ( u == - 0.01 )};% Restricciones de caja cbox = { - 10 <= icollocate ( x1 ) <= 10 - 10 <= icollocate ( x2 ) <= 10 - 10 <= icollocate ( x3 ) <= 10 - 0.3 <= collocate ( u ) <= 1 };% Restricciones de contorno cbnd = inicial ({ x1 == 0 ; x2 == 1 ; x3 == 0 });% EDO y restricciones de ruta ceq = collocate ({ dot ( x1 ) == ( 1 - x2 .^ 2 ) .* x1 - x2 + u dot ( x2 ) == x1 ; dot ( x3 ) == x1 .^ 2 + x2 .^ 2 + u .^ 2 });% Objetivo objetivo = final ( x3 );% Resuelve el problema opciones = struct ; opciones . nombre = 'Van Der Pol' ; solución = ezsolve ( objetivo , { cbox , cbnd , ceq }, x0 , opciones );

Cohete unidimensional ^{[ 4 ]} con tiempo final libre y desplazamiento de fase indeterminado.

Minimizar:

${\displaystyle {\begin{matrix}J_{x,t}&=&tCut\\\end{matrix}}}$

Sujeto a:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=a-g\ (0<t<=tCut)\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=-g\ (tCut<t<t_{f})\\x(t_{0})=[0\ 0]\\g=1\\a=2\\x_{1}(t_{f})=100\\\end{cases}}}$

El problema se resuelve con PROPT creando dos fases y conectándolas:

toms t toms tCut tp2 p1 = tomPhase ( 'p1' , t , 0 , tCut , 20 ); p2 = tomPhase ( 'p2' , t , tCut , tp2 , 20 );tf = tCut + tp2 ;x1p1 = tomState ( p1 , 'x1p1' ); x2p1 = tomState ( p1 , 'x2p1' ); x1p2 = tomState ( p2 , 'x1p2' ); x2p2 = tomState ( p2 , 'x2p2' );% Estimación inicial x0 = { tCut == 10 tf == 15 icollocate ( p1 ,{ x1p1 == 50 * tCut / 10 ; x2p1 == 0 ;}) icollocate ( p2 ,{ x1p2 == 50 + 50 * t / 100 ; x2p2 == 0 ;})};% Restricciones de caja cbox = { 1 <= tCut <= tf - 0.00001 tf <= 100 0 <= icollocate ( p1 , x1p1 ) 0 <= icollocate ( p1 , x2p1 ) 0 <= icollocate ( p2 , x1p2 ) 0 <= icollocate ( p2 , x2p2 )};% Restricciones de límite cbnd = { inicial ( p1 ,{ x1p1 == 0 ; x2p1 == 0 ;}) final ( p2 , x1p2 == 100 )};% EDO y restricciones de ruta a = 2 ; g = 1 ; ceq = { collocate ( p1 ,{ dot ( p1 , x1p1 ) == x2p1 dot ( p1 , x2p1 ) == a - g }) collocate ( p2 ,{ dot ( p2 , x1p2 ) == x2p2 dot ( p2 , x2p2 ) == - g })};% Objetivo objetivo = tCut ;% Fase de enlace enlace = { final ( p1 , x1p1 ) == initial ( p2 , x1p2 ) final ( p1 , x2p1 ) == initial ( p2 , x2p2 )};%% Resuelve el problema opciones = struct ; opciones . nombre = 'One Dim Rocket' ; constr = { cbox , cbnd , ceq , link }; solución = ezsolve ( objetivo , constr , x0 , opciones );

Problema de estimación de parámetros ^{[ 5 ]}

Minimizar:

${\displaystyle {\begin{matrix}J_{p}&=&\sum _{i=1,2,3,5}{(x_{1}(t_{i})-x_{1}^{m}(t_{i}))^{2}}\\\end{matrix}}}$

Sujeto a:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=1-2*x_{2}-x_{1}\\x_{0}=[p_{1}\ p_{2}]\\t_{i}=[1\ 2\ 3\ 5]\\x_{1}^{m}(t_{i})=[0.264\ 0.594\ 0.801\ 0.959]\\|p_{1:2}|<=1.5\\\end{cases}}}$

En el código que se muestra a continuación, el problema se resuelve con una cuadrícula fina (10 puntos de colocación). Posteriormente, esta solución se ajusta con 40 puntos de colocación:

toms t p1 p2 x1meas = [ 0.264 ; 0.594 ; 0.801 ; 0.959 ]; tmeas = [ 1 ; 2 ; 3 ; 5 ];% Restricciones de la caja cbox = { - 1.5 <= p1 <= 1.5 - 1.5 <= p2 <= 1.5 };%% Resuelve el problema, usando un número sucesivamente mayor de puntos de colocación para n =[ 10 40 ] p = tomPhase ( 'p' , t , 0 , 6 , n ); setPhase ( p ); tomStates x1 x2% Estimación inicial si n == 10 x0 = { p1 == 0 ; p2 == 0 }; de lo contrario x0 = { p1 == p1opt ; p2 == p2opt icollocate ({ x1 == x1opt ; x2 == x2opt })}; fin% Restricciones de contorno cbnd = inicial ({ x1 == p1 ; x2 == p2 });% EDO y restricciones de ruta x1err = suma (( atPoints ( tmeas , x1 ) - x1meas ) .^ 2 ); ceq = colocar ({ punto ( x1 ) == x2 ; punto ( x2 ) == 1 - 2 * x2 - x1 });% Objetivo objetivo = x1err ;%% Resuelve el problema opciones = struct ; opciones . nombre = 'Estimación de parámetros' ; opciones . solucionador = 'snopt' ; solución = ezsolve ( objetivo , { cbox , cbnd , ceq }, x0 , opciones );% Óptimo x, p para el punto de partida x1opt = subs ( x1 , solution ); x2opt = subs ( x2 , solution ); p1opt = subs ( p1 , solution ); p2opt = subs ( p2 , solution ); fin

• Control de trayectoria aerodinámica ^{[ 6 ]}
• Control de acción rápida ^{[ 7 ]}
• Ingeniería química ^{[ 8 ]}
• Sistemas dinámicos ^{[ 9 ]}
• control óptimo general
• Control lineal a gran escala ^{[ 10 ]}
• Control de sistemas multifásicos ^{[ 11 ]}
• Diseño de ingeniería mecánica ^{[ 12 ]}
• Control no diferenciable ^{[ 13 ]}
• Estimación de parámetros para sistemas dinámicos ^{[ 14 ]}
• Control singular

• TOMLAB - Desarrollador y distribuidor del software.
• TomSym - Motor de transformación de código fuente utilizado en software.
• PROPT - Página principal de PROPT.
• SNOPT : solucionador predeterminado utilizado en PROPT.