grupo p-compacto

En matemáticas , en particular en topología algebraica , un grupo p - compacto es una versión homotópica de un grupo de Lie compacto , pero con toda la estructura local concentrada en un único primo p . Este concepto fue introducido en Dwyer & Wilkerson (1994), precisando nociones anteriores de un espacio de bucle finito mod p. Un grupo p-compacto tiene muchas propiedades similares a las de Lie, como toros maximalistas y grupos de Weyl , que se definen puramente homotópicamente en términos del espacio de clasificación, pero con la importante diferencia de que el grupo de Weyl , en lugar de ser un grupo de reflexión finito sobre los enteros, es ahora un grupo de reflexión p -ádico finito. Admiten una clasificación en términos de datos raíz, que refleja la clasificación de los grupos de Lie compactos, pero con los enteros reemplazados por los enteros p -ádicos .

Un grupo p - compacto es un espacio puntiagudo BG , que es local con respecto a la homología mod p , y por lo tanto el espacio de bucle puntiagudo G = ΩBG tiene homología mod p finita . A veces también se hace referencia al grupo p -compacto por G , pero entonces hay que tener en cuenta que la estructura del espacio de bucle es parte de los datos (lo que permite recuperar BG ).

Se dice que un grupo p -compacto es conexo si G es un espacio conexo (en general, el grupo de componentes de G será un p-grupo finito). El rango de un grupo p -compacto es el rango de su toro máximo.

• La p-compleción, en el sentido de la teoría de homotopía, de (el espacio de clasificación de) un grupo de Lie compacto conexo define un grupo p-compacto conexo. (El grupo de Weyl es simplemente su grupo de Weyl ordinario, ahora visto como un grupo de reflexión p-ádico al tensar la red de copesos por .)${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$

• De manera más general, la p-compleción de un espacio de bucle finito conexo define un grupo p-compacto. (Aquí, el grupo de Weyl será un grupo de -reflexión que puede no provenir de un grupo de -reflexión).${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

• Un grupo 2 -compacto conexo de rango 1 es la 2 -completación de SU(2) o SO(3) . Un grupo p-compacto conexo de rango 1, para p impar, es una " esfera de Sullivan ", es decir, la p -completación de una 2n-1 - esfera S ^2n-1 , donde n divide a p − 1. Estas esferas resultan tener una estructura de espacio de bucles única. Fueron construidas por primera vez por Dennis Sullivan en sus notas del MIT de 1970. (El grupo de Weyl es un grupo cíclico de orden n , que actúa sobre vía una raíz n- ésima de la unidad).${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$

• Generalizando el caso de rango 1, cualquier grupo de reflexión complejo finito puede realizarse como el grupo de Weyl de un grupo p -compacto para infinitos primos, con los primos siendo determinados por si W y están conjugados en o no, con alguna incrustación de en . La construcción de un grupo p -compacto con este grupo de Weyl es entonces relativamente sencilla para primos grandes donde p no divide el orden de W (llevado a cabo ya en Clark & ​​Ewing (1974) usando el teorema de Chevalley–Shephard–Todd ), pero requiere métodos más sofisticados para los "primos modulares" p que dividen el orden de W .${\displaystyle W\leq GL_{r}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle GL_{r}(\mathbb {Z} _ {p})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$

La clasificación de los grupos p -compactos de Andersen & Grodal (2009) establece que existe una correspondencia 1-1 entre los grupos p -compactos conexos, hasta la equivalencia de homotopía, y los datos de raíz sobre los números enteros p -ádicos , hasta el isomorfismo. Esto es análogo a la clasificación clásica de los grupos de Lie compactos conexos, con los números enteros p -ádicos reemplazando a los números enteros racionales .

De la clasificación se desprende que cualquier grupo p -compacto puede escribirse como BG = BH × BK donde BH es la p -completación de un grupo de Lie compacto conexo y BK es el producto directo finito de grupos p-compactos exóticos simples , es decir, grupos p-compactos simples cuyo grupo de Weyl no es un grupo de -reflexión. Los grupos p-compactos exóticos simples están de nuevo en correspondencia 1-1 con grupos de reflexión complejos irreducibles cuyo campo de caracteres puede estar incrustado en , pero no es . ${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Q}_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$

Por ejemplo, cuando p=2 esto implica que cada grupo 2-compacto conexo puede escribirse BG = BH × BDI(4) ^s , donde BH es la 2-compleción del espacio de clasificación de un grupo de Lie compacto conexo, y BDI(4) ^s denota s copias del " grupo 2-compacto de Dwyer -Wilkerson" BDI(4) de rango 3, construido en Dwyer & Wilkerson (1993) con el grupo de Weyl correspondiente al grupo número 24 en la enumeración de Shepard - Todd de grupos de reflexión complejos . Para p=3 se cumple una afirmación similar pero el nuevo grupo 3-compacto exótico es ahora el grupo número 12 en la lista de Shepard-Todd, de rango 2. Para primos mayores que 3, la familia 2 en la lista de Shepard-Todd contendrá infinitos grupos p-compactos exóticos.

Un espacio de bucle finito es un espacio puntiagudo BG tal que el espacio de bucle ΩBG es homotópicamente equivalente a un complejo CW finito. La clasificación de grupos p-compactos conexos implica una clasificación de espacios de bucle finitos conexos : Dado un grupo p-compacto conexo para cada primo, todos con el mismo tipo racional, existe un espacio de doble clase lateral explícito de posibles espacios de bucle finitos conexos con p-compleción que dan grupos p-compactos. Como los grupos p-compactos conexos se clasifican combinatoriamente, esto implica también una clasificación de espacios de bucle conexos.

Utilizando la clasificación, se pueden identificar los grupos de Lie compactos dentro de espacios de bucles finitos, dando una caracterización homotópica de los grupos de Lie compactos conexos : Son exactamente aquellos espacios de bucles finitos que admiten un toro maximal integral; esta fue la llamada conjetura del toro maximal . (Véase Andersen & Grodal (2009) y Grodal (2010).)

La clasificación también implica una clasificación de qué anillos polinomiales graduados pueden ocurrir como el anillo de cohomología de un espacio, el llamado problema de Steenrod . (Véase Andersen & Grodal (2008).)

• Andersen, KKS; Grodal, J.; Møller, J.; Viruel, A. (2008), "La clasificación de grupos p-compactos para p impares", Ann. of Math. (2) , 167 : 95–210, arXiv : math/0302346 , doi :10.4007/annals.2008.167.95, S2CID  119168267
• Andersen, KKS; Grodal, J. (2009), "La clasificación de los grupos 2-compactos", J. Amer. Math. Soc. , 22 (2): 387–436, arXiv : math/0611437 , doi :10.1090/S0894-0347-08-00623-1, S2CID  17542829
• Andersen, KKS; Grodal, J. (2008), "El problema de Steenrod de la realización de anillos de cohomología polinómica", J. Topol. , 1 (4): 747–760, arXiv : 0704.4002 , doi :10.1112/jtopol/jtn021, S2CID  1583621
• Clark, A.; Ewing, J. (1974), "La realización de álgebras polinómicas como anillos de cohomología", Pacific J. Math. , 50 (2): 425–434, doi : 10.2140/pjm.1974.50.425
• Dwyer, WG; Wilkerson, CW (1994), "Métodos de punto fijo de homotopía para grupos de Lie y espacios de bucles finitos", Ann. of Math. (2) , 139 : 395–442, doi :10.2307/2946585, JSTOR  2946585
• Dwyer, WG; Wilkerson, CW (1993), "Un nuevo espacio de bucle finito en el primo 2", J. Amer. Math. Soc. , 6 : 37–64, doi : 10.1090/S0894-0347-1993-1161306-9
• Grodal, J. (2010), "La clasificación de grupos p-compactos y la teoría de grupos homotópicos", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos 2010 , arXiv : 1003.4010
• Grupos de Lie de homotopía: una encuesta (PDF)
• Grupos de Lie de homotopía y su clasificación (PDF)