función exponencial p-ádica

En matemáticas , particularmente en el análisis p -ádico , la función exponencial p -ádica es un análogo p -ádico de la función exponencial habitual en los números complejos . Como en el caso complejo, tiene una función inversa, llamada logaritmo p -ádico .

La función exponencial habitual en C está definida por la serie infinita

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

De manera completamente análoga, se define la función exponencial en C _p , la completitud del cierre algebraico de Q _p , por

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Sin embargo, a diferencia de exp que converge en todo C , exp _p solo converge en el disco

${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

Esto se debe a que las series p -ádicas convergen si y solo si los sumandos tienden a cero, y dado que el n ! en el denominador de cada sumando tiende a hacerlos grandes p -ádicamente, se necesita un valor pequeño de z en el numerador. De la fórmula de Legendre se deduce que si entonces tiende a , p -ádicamente. ${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}}$${\displaystyle {\frac {z^{n}}{n!}}}$${\estilo de visualización 0}$

Aunque la exponencial p -ádica a veces se denota e ^x , el número e en sí mismo no tiene un análogo p -ádico. Esto se debe a que la serie de potencias exp _p ( x ) no converge en x = 1 . Es posible elegir un número e como raíz p -ésima de exp _p ( p ) para p ≠ 2 , ^[a] pero hay múltiples raíces de este tipo y no hay una elección canónica entre ellas. ^[1]

La serie de potencia

${\displaystyle \log _{p}(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

converge para x en C _p satisfaciendo | x | _p  < 1 y por lo tanto define la función logaritmo p-ádico log p ₍ z ) para | z  − 1| _p  < 1 satisfaciendo la propiedad habitual log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w . La función log _p se puede extender a todos los C ×
p (el conjunto de elementos distintos de cero de C _p ) imponiendo que continúa satisfaciendo esta última propiedad y fijando log _p ( p ) = 0. Específicamente, cada elemento w de C ×
p se puede escribir como w  =  p ^r ·ζ· z con r un número racional, ζ una raíz de la unidad y | z  − 1| _p  < 1, ^[2] en cuyo caso log _p ( w ) = log _p ( z ). ^[b] Esta función en C ×
p A veces se lo denomina logaritmo de Iwasawa para enfatizar la elección de log _p ( p ) = 0. De hecho, existe una extensión del logaritmo desde | z  − 1 | _p  < 1 a todos los C ×
p para cada elección de log _p ( p ) en C _p . ^[3]

Si z y w están ambos en el radio de convergencia para exp _p , entonces su suma también lo es y tenemos la fórmula de adición habitual: exp _p ( z  +  w ) = exp _p ( z )exp _p ( w ).

De manera similar, si z y w son elementos distintos de cero de C _p, entonces log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w .

Para z en el dominio de exp _p , tenemos exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ z y log _p (exp _p ( z )) =  z .

Las raíces del logaritmo de Iwasawa log _p ( z ) son exactamente los elementos de C _p de la forma p ^r ·ζ donde r es un número racional y ζ es una raíz de la unidad. ^[4]

Nótese que no existe análogo en C _p de la identidad de Euler , e ^{2 πi}  = 1. Este es un corolario del teorema de Strassmann .

Otra diferencia importante con la situación en C es que el dominio de convergencia de exp _p es mucho menor que el de log _p . Se puede utilizar en su lugar una función exponencial modificada (la exponencial de Artin-Hasse ) que converge en | z | _p  < 1.

• Capítulo 12 de Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society . Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5.
• Cohen, Henri (2007), Teoría de números, Volumen I: Herramientas y ecuaciones diofánticas , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 239, Nueva York: Springer, doi :10.1007/978-0-387-49923-9, ISBN 978-0-387-49922-2, Sr.  2312337
• Robert, Alain M. (2000), Un curso de análisis p -ádico , Springer, ISBN 0-387-98669-3

• exponencial p-ádico y logaritmo p-ádico