Utilidad ordinaria

En economía , una función de utilidad ordinal representa las preferencias de un agente en una escala ordinal . La teoría de la utilidad ordinal sostiene que solo tiene sentido preguntar qué opción es mejor que otra, pero carece de sentido preguntar cuánto mejor es o cuán buena es. Toda la teoría de la toma de decisiones del consumidor en condiciones de certeza puede expresarse, y generalmente se expresa, en términos de utilidad ordinal.

Por ejemplo, supongamos que George nos dice que "Prefiero A a B y B a C". Las preferencias de George se pueden representar mediante una función u tal que:

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

Pero los críticos de la utilidad cardinal afirman que el único mensaje significativo de esta función es el orden.${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$; los números reales no tienen sentido. Por lo tanto, las preferencias de George también pueden representarse mediante la siguiente función v :

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

Las funciones u y v son ordinalmente equivalentes; representan las preferencias de George igual de bien.

La teoría de la utilidad ordinal contrasta con la teoría de la utilidad cardinal : esta última presupone que las diferencias entre preferencias también son importantes. En u, la diferencia entre A y B es mucho menor que entre B y C, mientras que en v ocurre lo contrario. Por lo tanto, u y v no son cardinalmente equivalentes.

El concepto de utilidad ordinal fue introducido por primera vez por Pareto en 1906. ^{[ 1 ]}

Supongamos que el conjunto de todos los estados del mundo es${\displaystyle X}$y un agente tiene una relación de preferencia sobre${\displaystyle X}$. Es común marcar la relación de preferencia débil mediante${\displaystyle \preceq }$, de modo que${\displaystyle A\preceq B}$dice "el agente quiere a B al menos tanto como a A".

El símbolo${\displaystyle \sim }$se utiliza como una forma abreviada de la relación de indiferencia:${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$, que dice "El agente es indiferente entre B y A".

El símbolo${\displaystyle \prec }$se utiliza como una forma abreviada de la relación de preferencia fuerte:${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$si:

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

Algunas condiciones en${\displaystyle \preceq }$son necesarias para garantizar la existencia de una función representativa:

• Transitividad : si${\displaystyle A\preceq B}$y${\displaystyle B\preceq C}$entonces${\displaystyle A\preceq C}$.
• Completitud: para todos los paquetes${\displaystyle A,B\in X}$: cualquiera${\displaystyle A\preceq B}$o${\displaystyle B\preceq A}$o ambas.
  • La completitud también implica reflexividad: para cada${\displaystyle A\in X}$:${\displaystyle A\preceq A}$.

Cuando se cumplen estas condiciones y se establece${\displaystyle X}$es finito, es fácil crear una función${\displaystyle u}$que representa${\displaystyle \prec }$simplemente asignando un número apropiado a cada elemento de ${\displaystyle X}$, como se ejemplifica en el párrafo inicial. Lo mismo ocurre cuando X es infinitamente numerable . Además, es posible construir inductivamente una función de utilidad representativa cuyos valores se encuentran en el rango${\displaystyle (-1,1)}$. ^{[ 4 ]}

Cuando${\displaystyle X}$es infinito, estas condiciones son insuficientes. Por ejemplo, las preferencias lexicográficas son transitivas y completas, pero no pueden representarse mediante ninguna función de utilidad. ^{[ 4 ]} La condición adicional requerida es la continuidad .

Una relación de preferencia se denomina continua si, siempre que se prefiera B a A, pequeñas desviaciones de B o A no invierten el orden entre ellos. Formalmente, una relación de preferencia en un conjunto X se denomina continua si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Por cada${\displaystyle A\in X}$, el conjunto${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$está topológicamente cerrado en${\displaystyle X\times X}$con la topología del producto (esta definición requiere${\displaystyle X}$ser un espacio topológico ).
2. Para cada secuencia${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$, si para todos yo${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$y${\displaystyle A_{i}\to A}$y${\displaystyle B_{i}\to B}$, entonces${\displaystyle A\preceq B}$.
3. Por cada${\displaystyle A,B\in X}$de tal manera que${\displaystyle A\prec B}$, existe una pelota alrededor${\displaystyle A}$y una pelota alrededor${\displaystyle B}$de tal manera que, para cada${\displaystyle a}$en la pelota alrededor${\displaystyle A}$y cada${\displaystyle b}$en la pelota alrededor${\displaystyle B}$,${\displaystyle a\prec b}$(esta definición requiere${\displaystyle X}$ser un espacio métrico ).

Si una relación de preferencia está representada por una función de utilidad continua, entonces es claramente continua. Según los teoremas de Debreu (1954) , lo contrario también es cierto:

Toda relación de preferencia continua y completa puede representarse mediante una función de utilidad ordinal continua.

Nótese que las preferencias lexicográficas no son continuas. Por ejemplo,${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$, pero en cada bola alrededor de (5,1) hay puntos con${\displaystyle x<5}$y estos puntos son inferiores a${\displaystyle (5,0)}$Esto concuerda con el hecho, mencionado anteriormente, de que estas preferencias no pueden representarse mediante una función de utilidad.

Para cada función de utilidad v , existe una relación de preferencia única representada por v . Sin embargo, lo contrario no es cierto: una relación de preferencia puede estar representada por muchas funciones de utilidad diferentes. Las mismas preferencias podrían expresarse como cualquier función de utilidad que sea una transformación monótonamente creciente de v . Por ejemplo, si

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

dónde${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$Si v es cualquier función monótonamente creciente, entonces las funciones v y v dan lugar a mapeos de curvas de indiferencia idénticos.

Esta equivalencia se describe sucintamente de la siguiente manera:

Una función de utilidad ordinal es única salvo una transformación monótona creciente .

En cambio, una función de utilidad cardinal es única salvo por una transformación afín creciente . Toda transformación afín es monótona; por lo tanto, si dos funciones son cardinalmente equivalentes, también lo son ordinalmente, pero no a la inversa.

Supongamos, de ahora en adelante, que el conjunto${\displaystyle X}$es el conjunto de todos los vectores reales bidimensionales no negativos. Por lo tanto, un elemento de${\displaystyle X}$es un par${\displaystyle (x,y)}$que representa las cantidades consumidas de dos productos, por ejemplo, manzanas y plátanos.

Entonces, bajo ciertas circunstancias, una relación de preferencia${\displaystyle \preceq }$está representada por una función de utilidad${\displaystyle v(x,y)}$.

Supongamos que la relación de preferencia es monótonamente creciente , lo que significa que "más siempre es mejor":

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y)\prec (x,y')}$

Entonces, ambas derivadas parciales de v , si existen, son positivas. En resumen:

Si una función de utilidad representa una relación de preferencia monótonamente creciente, entonces la función de utilidad es monótonamente creciente.

Supongamos que una persona tiene un fajo de billetes.${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$y afirma que le es indiferente entre este paquete y el paquete${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$Esto significa que está dispuesto a dar${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$unidades de x para obtener${\displaystyle \delta }$unidades de y. Si esta razón se mantiene como${\displaystyle \delta \to 0}$, decimos que${\displaystyle \lambda }$es la tasa marginal de sustitución (TMS) entre x e y en el punto${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. ^{[ 5 ] : 82}

Esta definición de la RMS se basa únicamente en la relación de preferencia ordinal; no depende de una función de utilidad numérica. Si la relación de preferencia está representada por una función de utilidad y esta es diferenciable, entonces la RMS puede calcularse a partir de las derivadas de dicha función.

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

Por ejemplo, si la relación de preferencia está representada por${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$entonces${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$. El MRS es el mismo para la función${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$Esto no es una coincidencia, ya que estas dos funciones representan la misma relación de preferencia: cada una es una transformación monótona creciente de la otra.

En general, el MRS puede ser diferente en diferentes puntos.${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Por ejemplo, es posible que en${\displaystyle (9,1)}$La RMS es baja porque la persona tiene mucho x y solo un y , pero en${\displaystyle (9,9)}$o${\displaystyle (1,1)}$La RMS es más alta. A continuación se describen algunos casos especiales.

Cuando la RMS de una determinada relación de preferencia no depende del conjunto, es decir, la RMS es la misma para todos${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$Las curvas de indiferencia son lineales y tienen la forma:

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

y la relación de preferencia puede representarse mediante una función lineal:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(Por supuesto, la misma relación puede representarse mediante muchas otras funciones no lineales, como${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$o${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$, pero la función lineal es la más simple.) ^{[ 5 ] : 85}

Cuando la Sra. depende de${\displaystyle y_{0}}$pero no en${\displaystyle x_{0}}$, la relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad cuasilineal , de la forma

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

dónde${\displaystyle v_{Y}}$es una cierta función monótonamente creciente. Porque la TMS es una función${\displaystyle \lambda (y)}$, una posible función${\displaystyle v_{Y}}$se puede calcular como una integral de${\displaystyle \lambda (y)}$: ^{[ 6 ] [ 5 ] : 87}

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

En este caso, todas las curvas de indiferencia son paralelas; son transferencias horizontales unas de otras.

Un tipo más general de función de utilidad es una función aditiva :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

Existen varias maneras de comprobar si unas preferencias dadas pueden representarse mediante una función de utilidad aditiva .

Cuando hay tres o más bienes, la condición para la aditividad de la función de utilidad es sorprendentemente más simple que para dos bienes. Esto se deriva del Teorema 3 de Debreu (1960) . La condición requerida para la aditividad es la independencia preferencial . ^{[ 5 ] : 104}

Se dice que un subconjunto A de bienes es preferencialmente independiente de un subconjunto B de bienes si la relación de preferencia en el subconjunto A, dados valores constantes para el subconjunto B, es independiente de estos valores constantes. Por ejemplo, supongamos que hay tres bienes: x , y y z . El subconjunto { x , y } es preferencialmente independiente del subconjunto { z } si para todo${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$:

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

En este caso, podemos decir simplemente que:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$para z constante .

La independencia de preferencias tiene sentido en el caso de bienes independientes . Por ejemplo, las preferencias entre cestas de manzanas y plátanos probablemente sean independientes del número de zapatos y calcetines que tenga un agente, y viceversa.

Según el teorema de Debreu, si todos los subconjuntos de bienes son preferencialmente independientes de sus complementos, entonces la relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor aditiva. Aquí proporcionamos una explicación intuitiva de este resultado mostrando cómo se puede construir dicha función de valor aditiva. ^{[ 5 ]} La demostración supone tres bienes: x , y , z . Mostramos cómo definir tres puntos para cada una de las tres funciones de valor.${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$: el punto 0, el punto 1 y el punto 2. Los demás puntos se pueden calcular de forma similar, y luego se puede usar la continuidad para concluir que las funciones están bien definidas en todo su rango.

0 puntos : elegir arbitrariamente${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$y asignarlos como el cero de la función de valor, es decir:

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 punto : elegir arbitrariamente${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$de tal manera que${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$. Establézcalo como la unidad de valor, es decir:

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

Elegir${\displaystyle y_{1}}$y${\displaystyle z_{1}}$De tal manera que se cumplen las siguientes relaciones de indiferencia:

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

Esta indiferencia sirve para escalar las unidades de y y z para que coincidan con las de x . El valor en estos tres puntos debe ser 1, por lo que asignamos

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2 puntos : Ahora utilizamos el supuesto de independencia preferencial. La relación entre${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$y${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$es independiente de z , y de manera similar la relación entre${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$y${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$es independiente de x y la relación entre${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$y${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$es independiente de y . Por lo tanto

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

Esto es útil porque significa que la función v puede tener el mismo valor – 2 – en estos tres puntos. Seleccionar${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$de tal manera que

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

y asignar

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 puntos : Para demostrar que nuestras asignaciones hasta ahora son consistentes, debemos demostrar que todos los puntos que reciben un valor total de 3 son puntos de indiferencia. Aquí, nuevamente, se utiliza el supuesto de independencia preferencial, ya que la relación entre${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$y${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$es independiente de z (y de forma similar para los otros pares); por lo tanto

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

Y lo mismo ocurre con los demás pares. Por lo tanto, el tercer punto se define de forma consistente.

Podemos continuar así por inducción y definir las funciones por producto en todos los puntos enteros, y luego usar la continuidad para definirlas en todos los puntos reales.

Una suposición implícita en el punto 1 de la demostración anterior es que los tres bienes son esenciales o relevantes para la preferencia . ^{[ 7 ] : 7} Esto significa que existe una cesta tal que, si se aumenta la cantidad de un determinado bien, la nueva cesta es estrictamente mejor.

La demostración para más de 3 mercancías es similar. De hecho, no tenemos que comprobar que todos los subconjuntos de puntos sean preferentemente independientes; basta con comprobar un número lineal de pares de mercancías. Por ejemplo, si hay${\displaystyle m}$diferentes productos básicos,${\displaystyle j=1,...,m}$, entonces es suficiente comprobar que para todos${\displaystyle j=1,...,m-1}$, los dos productos básicos${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$son preferentemente independientes de los demás${\displaystyle m-2}$productos básicos. ^{[ 5 ] : 115}

Los fundamentos matemáticos de la mayoría de los tipos comunes de funciones de utilidad —cuadráticas y aditivas— establecidos por Gérard Debreu ^{[ 9 ] [ 10 ]} permitieron a Andranik Tangian desarrollar métodos para su construcción a partir de datos puramente ordinales. En particular, las funciones de utilidad aditivas y cuadráticas en${\displaystyle n}$Las variables se pueden construir a partir de entrevistas a los responsables de la toma de decisiones, donde las preguntas están dirigidas a rastrear completamente${\displaystyle n}$Curvas de indiferencia 2D en${\displaystyle n-1}$planos de coordenadas sin hacer referencia a estimaciones de utilidad cardinal. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:

• La relación de preferencia lexicográfica no puede representarse mediante una función de utilidad . En Economics.SE
• Reconocimiento de órdenes lineales incrustables en R2 ordenado lexicográficamente . En Math.SE.
• Murray N. Rothbard , "Hacia una reconstrucción de la economía de la utilidad y del bienestar"