Acción eficaz

En la teoría cuántica de campos , la acción efectiva cuántica es una expresión modificada de la acción clásica que tiene en cuenta las correcciones cuánticas y garantiza que se aplique el principio de mínima acción . Esto significa que al extremizar la acción efectiva se obtienen las ecuaciones de movimiento para los valores esperados del vacío de los campos cuánticos. La acción efectiva también actúa como funcional generador para las funciones de correlación irreducibles de una partícula . El componente potencial de la acción efectiva se denomina potencial efectivo , y el valor esperado del vacío verdadero es el mínimo de este potencial, en lugar del potencial clásico, lo que lo hace importante para el estudio de la ruptura espontánea de simetría .

Fue definida por primera vez de forma perturbativa por Jeffrey Goldstone , Abdus Salam y Steven Weinberg en 1962, ^{[ 1 ]} mientras que la definición no perturbativa fue introducida por Bryce DeWitt en 1963 ^{[ 2 ]} e independientemente por Giovanni Jona-Lasinio en 1964. ^{[ 3 ]}

El artículo describe la acción efectiva para un único campo escalar ; sin embargo, existen resultados similares para múltiples campos escalares o fermiónicos .

Estos funcionales generadores también tienen aplicaciones en mecánica estadística y teoría de la información , con factores ligeramente diferentes.${\displaystyle i}$y convenciones de señas.

Una teoría cuántica de campos con acción${\displaystyle S[\phi ]}$puede describirse completamente en el formalismo de la integral de camino utilizando el funcional de partición

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{4}x\phi (x)J(x)}.}$

Dado que corresponde a transiciones de vacío a vacío en presencia de una corriente externa clásica${\displaystyle J(x)}$, puede evaluarse perturbativamente como la suma de todos los diagramas de Feynman conectados y desconectados . También es el funcional generador de funciones de correlación.

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle =(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

donde los operadores de campo escalar se denotan por${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$Se puede definir otra función generadora útil${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$responsable de generar funciones de correlación conectadas

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\cdots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\text{con}}=(-i)^{n-1}{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

que se calcula perturbativamente como la suma de todos los diagramas conectados. ^{[ 4 ]} Aquí, conectado se interpreta en el sentido de la descomposición en clústeres , lo que significa que las funciones de correlación tienden a cero en grandes separaciones de tipo espacial. Las funciones de correlación generales siempre se pueden escribir como una suma de productos de funciones de correlación conectadas.

La acción efectiva cuántica se define utilizando la transformación de Legendre de${\displaystyle W[J]}$

dónde${\displaystyle J_{\phi }}$es la corriente de la fuente para la cual el campo escalar tiene el valor esperado${\displaystyle \phi (x)}$, a menudo llamado el campo clásico, definido implícitamente como la solución a

Ejemplo de un diagrama que no es irreducible a una partícula.

Ejemplo de un diagrama irreducible de una partícula.

${\displaystyle \phi (x)=\langle {\hat {\phi }}(x)\rangle _{J}={\frac {\delta W[J]}{\delta J(x)}}.}$

Como valor esperado, el campo clásico puede considerarse como el promedio ponderado sobre las fluctuaciones cuánticas en presencia de una corriente.${\displaystyle J(x)}$que genera el campo escalar. Tomando la derivada funcional de la transformación de Legendre con respecto a${\displaystyle \phi (x)}$rendimientos

${\displaystyle J_{\phi }(x)=-{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

En ausencia de una fuente${\displaystyle J_{\phi }(x)=0}$Lo anterior demuestra que el valor esperado en el vacío de los campos extremiza la acción efectiva cuántica en lugar de la acción clásica. Esto no es más que el principio de mínima acción en la teoría cuántica de campos completa. La razón por la que la teoría cuántica requiere esta modificación proviene de la perspectiva de la integral de trayectoria, ya que todas las configuraciones de campo posibles contribuyen a la integral de trayectoria, mientras que en la teoría clásica de campos solo contribuyen las configuraciones clásicas.

La acción efectiva es también el funcional generador para las funciones de correlación irreducibles de una partícula (1PI) . Los diagramas 1PI son gráficos conectados que no se pueden desconectar en dos partes cortando una sola línea interna. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\mathrm {1PI} }=i{\frac {\delta ^{n}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x_{1})\dots \delta \phi (x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},}$

con${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$siendo la suma de todos los diagramas de Feynman 1PI. La estrecha conexión entre${\displaystyle W[J]}$y${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$significa que existen varias relaciones muy útiles entre sus funciones de correlación. Por ejemplo, la función de correlación de dos puntos, que no es otra cosa que el propagador.${\displaystyle \Delta (x,y)}$es la inversa de la función de correlación de dos puntos 1PI

${\displaystyle \Delta (x,y)={\frac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}}={\frac {\delta \phi (x)}{\delta J(y)}}={\bigg (}{\frac {\delta J(y)}{\delta \phi (x)}}{\bigg )}^{-1}=-{\bigg (}{\frac {\delta ^{2}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg )}^{-1}=-\Pi ^{-1}(x,y).}$

Una forma directa de calcular la acción efectiva${\displaystyle \Gamma [\phi _{0}]}$perturbativamente como una suma de diagramas 1PI es sumar sobre todos los diagramas de vacío 1PI adquiridos utilizando las reglas de Feynman derivadas de la acción desplazada${\displaystyle S[\phi +\phi _{0}]}$. Esto funciona porque cualquier lugar donde${\displaystyle \phi _{0}}$aparece en cualquiera de los propagadores o vértices es un lugar donde un externo${\displaystyle \phi }$Se puede adjuntar una línea. Esto es muy similar al método del campo de fondo , que también se puede utilizar para calcular la acción efectiva.

Alternativamente, la aproximación de un bucle a la acción se puede encontrar considerando la expansión de la función de partición alrededor de la configuración clásica del campo de valor esperado del vacío.${\displaystyle \phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)}$, obteniendo ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle \Gamma [\phi _{\text{cl}}]=S[\phi _{\text{cl}}]+{\frac {i}{2}}{\text{Tr}}{\bigg [}\ln {\frac {\delta ^{2}S[\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg |}_{\phi =\phi _{\text{cl}}}{\bigg ]}+\cdots .}$

Simetrías de la acción clásica${\displaystyle S[\phi ]}$no son automáticamente simetrías de la acción efectiva cuántica${\displaystyle \Gamma [\phi ]}$Si la acción clásica tiene una simetría continua que depende de alguna función${\displaystyle F[x,\phi ]}$

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon F[x,\phi ],}$

Entonces esto impone directamente la restricción.

${\displaystyle 0=\int d^{4}x\langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.}$

Esta identidad es un ejemplo de una identidad de Slavnov-Taylor . Es idéntica al requisito de que la acción efectiva sea invariante bajo la transformación de simetría.

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon \langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}.}$

Esta simetría es idéntica a la simetría original para la importante clase de simetrías lineales.

${\displaystyle F[x,\phi ]=a(x)+\int d^{4}y\ b(x,y)\phi (y).}$

Para los funcionales no lineales, las dos simetrías generalmente difieren porque el promedio de un funcional no lineal no es equivalente al funcional de un promedio.

Para un espaciotiempo con volumen${\displaystyle {\mathcal {V}}_{4}}$, el potencial efectivo se define como${\displaystyle V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}}$. Con un hamiltoniano${\displaystyle H}$, el potencial efectivo${\displaystyle V(\phi )}$en${\displaystyle \phi (x)}$siempre da el mínimo del valor esperado de la densidad de energía${\displaystyle \langle \Omega |H|\Omega \rangle }$para el conjunto de estados${\displaystyle |\Omega \rangle }$satisfactorio${\displaystyle \langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)}$[ ^{7 ] Esta definición sobre múltiples estados es necesaria porque múltiples estados diferentes, cada uno de los cuales corresponde a una corriente fuente particular, pueden resultar en el mismo valor esperado. Además ,} se puede demostrar que el potencial efectivo es necesariamente una función convexa.${\displaystyle V''(\phi )\geq 0}$. ^{[ 8 ]}

Calcular el potencial efectivo de forma perturbativa a veces puede dar como resultado un valor no convexo, como un potencial que tiene dos mínimos locales . Sin embargo, el verdadero potencial efectivo sigue siendo convexo, volviéndose aproximadamente lineal en la región donde el potencial efectivo aparente no es convexo. La contradicción se produce en los cálculos alrededor de vacíos inestables, ya que la teoría de perturbaciones necesariamente asume que el vacío es estable. Por ejemplo, consideremos un potencial efectivo aparente.${\displaystyle V_{0}(\phi )}$con dos mínimos locales cuyos valores esperados${\displaystyle \phi _{1}}$y${\displaystyle \phi _{2}}$son los valores esperados para los estados${\displaystyle |\Omega _{1}\rangle }$y${\displaystyle |\Omega _{2}\rangle }$, respectivamente. Entonces cualquier${\displaystyle \phi }$en la región no convexa de${\displaystyle V_{0}(\phi )}$También se puede adquirir para algunos${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$usando

${\displaystyle |\Omega \rangle \propto {\sqrt {\lambda }}|\Omega _{1}\rangle +{\sqrt {1-\lambda }}|\Omega _{2}\rangle .}$

Sin embargo, la densidad de energía de este estado es${\displaystyle \lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )}$significado${\displaystyle V_{0}(\phi )}$no puede ser el potencial efectivo correcto en${\displaystyle \phi }$ya que no minimizó la densidad de energía. Más bien el verdadero potencial efectivo${\displaystyle V(\phi )}$es igual o inferior a esta construcción lineal, que restablece la convexidad.

• Método de campo de fondo
• Función de correlación
• Formulación de la integral de trayectoria
• Grupo de renormalización
• Ruptura espontánea de simetría

• Das, A  .: Teoría de campos: Un enfoque de integral de trayectoria , World Scientific Publishing 2006
• Schwartz, MD: Teoría cuántica de campos y el modelo estándar , Cambridge University Press, 2014
• Toms, DJ: El principio de acción de Schwinger y la acción eficaz , Cambridge University Press, 2007
• Weinberg, S.: La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas , vol. II, Cambridge University Press, 1996.