Función de onda esferoidal oblata

En matemáticas aplicadas , las funciones de onda esferoidales oblatas (al igual que las funciones de onda esferoidales prolatas y otras funciones relacionadas ^{[ 1 ]} ) están involucradas en la solución de la ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales oblatas . Al resolver esta ecuación, ${\displaystyle \Delta \Phi +k^{2}\Phi =0}$, por el método de separación de variables ,${\displaystyle (\xi,\eta,\varphi)}$, con:

${\displaystyle \ z=(d/2)\xi \eta ,}$

${\displaystyle \ x=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\cos \varphi ,}$

${\displaystyle \ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\sin \varphi ,}$

${\displaystyle \ \xi \geq 0{\text{ y }}|\eta |\leq 1.}$

la solución${\displaystyle \Phi (\xi,\eta,\varphi)}$se puede escribir como el producto de una función de onda esferoidal radial${\displaystyle R_{mn}(-ic,i\xi )}$ y una función de onda esferoidal angular${\displaystyle S_{mn}(-ic,\eta )}$por${\displaystyle e^{estoy\varphi }}$. Aquí${\displaystyle c=kd/2}$, con${\displaystyle d}$siendo la distancia interfocal de la sección transversal elíptica del esferoide oblato .

La función de onda radial${\displaystyle R_{mn}(-ic,i\xi )}$ satisface la ecuación diferencial ordinaria lineal :

${\displaystyle \ (\xi ^{2}+1){\frac {d^{2}R_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}-{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}+1}}\right){R_{mn}(-ic,i\xi )}=0}$.

La función de onda angular satisface la ecuación diferencial:

${\displaystyle \ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}S_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)+c^{2}\eta ^{2}-{\frac {m^{2}}{1-\eta ^{2}}}\right){S_{mn}(-ic,\eta )}=0}$.

Es la misma ecuación diferencial que en el caso de la función de onda radial. Sin embargo, el rango de la coordenada radial es diferente.${\displaystyle \xi }$es diferente de la de la coordenada angular${\displaystyle \eta }$.

El valor propio${\displaystyle \lambda _{mn}(-ic)}$de este problema de Sturm-Liouville está determinado por el requisito de que${\displaystyle {S_{mn}(-ic,\eta )}}$ser finito para${\displaystyle |\eta |=1}$.

Para${\displaystyle c=0}$Estas dos ecuaciones diferenciales se reducen a las ecuaciones que satisfacen los polinomios de Legendre asociados . Para${\displaystyle c\neq 0}$Las funciones de onda esferoidales angulares pueden expandirse como una serie de funciones de Legendre. Müller ya consideró dichas expansiones. ^{[ 2 ]}

Las ecuaciones diferenciales dadas anteriormente para las funciones de onda radiales y angulares oblatas se pueden obtener a partir de las ecuaciones correspondientes para las funciones de onda esferoidales prolatas mediante la sustitución de${\displaystyle -ic}$para${\displaystyle c}$y${\displaystyle i\xi }$para${\displaystyle \xi }$La notación para las funciones esferoidales achatadas refleja esta relación.

Existen diferentes esquemas de normalización para funciones esferoidales. Una tabla con los diferentes esquemas se puede encontrar en Abramowitz y Stegun . ^{[ 3 ]} Abramowitz y Stegun (y el presente artículo) siguen la notación de Flammer. ^{[ 4 ]}

Originalmente, las funciones de onda esferoidales fueron introducidas por C. Niven, ^{[ 5 ] lo que condujo a una ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales. Strutt, [ 6 ]} Stratton et al., ^{[ 7 ]} Meixner y Schafke, ^{[ 8 ]} y Flammer, ^{[ 4 ]} escribieron monografías que unifican muchos aspectos de la teoría de las funciones de onda esferoidales.

Flammer ^{[ 4 ]} proporcionó una discusión exhaustiva del cálculo de los autovalores, funciones de onda angulares y funciones de onda radiales tanto para el caso oblado como para el prolado. Muchos han desarrollado programas informáticos para este propósito, incluidos Van Buren et al., ^{[ 9 ]} King y Van Buren, ^{[ 10 ]} Baier et al., ^{[ 11 ]} Zhang y Jin, ^{[ 12 ]} y Thompson. ^{[ 13 ]} Van Buren ha desarrollado recientemente nuevos métodos para calcular funciones de onda esferoidales obladas que extienden la capacidad de obtener valores numéricos a rangos de parámetros extremadamente amplios. Estos resultados se basan en trabajos anteriores sobre funciones de onda esferoidales proladas. ^{[ 14 ] [ 15 ]} El código fuente Fortran que combina los nuevos resultados con métodos tradicionales está disponible en http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .

Las tablas de valores numéricos de funciones de onda esferoidales achatadas se proporcionan en Flammer, ^{[ 4 ]} Hanish et al., ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} y Van Buren et al. ^{[ 19 ]}

Expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales oblatas angulares para valores grandes de${\displaystyle c}$^{Müller. [ 20 ]} también los derivó de manera similar para funciones de onda esferoidales proladas. ^{[ 21 ]}

La Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas (http://dlmf.nist.gov ), proporcionada por el NIST, es un excelente recurso para las funciones de onda esferoidales.

• Funciones de ondas esferoidales de MathWorld
• Función de onda esferoidal prolata de MathWorld
• Función de onda esferoidal oblata de MathWorld