Estructura nuclear

El modelo de clúster describe el núcleo como una colección similar a una molécula de grupos de protones y neutrones (por ejemplo, partículas alfa ) con uno o más neutrones de valencia que ocupan orbitales moleculares. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

El modelo de gota líquida es uno de los primeros modelos de estructura nuclear, propuesto por Carl Friedrich von Weizsäcker en 1935. ^{[ 5 ]} Describe el núcleo como un fluido semiclasico compuesto de neutrones y protones , con una fuerza electrostática repulsiva interna proporcional al número de protones. La naturaleza cuántica de estas partículas aparece a través del principio de exclusión de Pauli , que establece que no puede haber dos nucleones del mismo tipo en el mismo estado . Por lo tanto, el fluido es en realidad lo que se conoce como un líquido de Fermi . En este modelo, la energía de enlace de un núcleo con${\displaystyle Z}$protones y${\displaystyle N}$Los neutrones vienen dados por

${\displaystyle E_{B}=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-a_{A}{\frac {(NZ)^{2}}{A}}-\delta (A,Z)}$

dónde${\displaystyle A=Z+N}$es el número total de nucleones ( Número másico ). Los términos proporcionales a${\displaystyle A}$y${\displaystyle A^{2/3}}$representan el volumen y la energía superficial de la gota de líquido, el término proporcional a${\displaystyle Z^{2}}$representa la energía electrostática, el término proporcional a${\displaystyle (NZ)^{2}}$representa el principio de exclusión de Pauli y el último término${\displaystyle \delta (A,Z)}$es el término de apareamiento, que reduce la energía para números pares de protones o neutrones. Los coeficientes${\displaystyle a_{V},a_{S},a_{C},a_{A}}$La intensidad del término de apareamiento puede estimarse teóricamente o ajustarse a los datos. Este sencillo modelo reproduce las características principales de la energía de enlace de los núcleos.

La suposición de que el núcleo es una gota de líquido de Fermi todavía se usa ampliamente en la forma del Modelo de Gota de Rango Finito (FRDM), debido a la posible buena reproducción de la energía de enlace nuclear en todo el gráfico, con la precisión necesaria para predicciones de núcleos desconocidos. ^{[ 6 ]}

La expresión «modelo de capas» es ambigua, ya que se refiere a dos conceptos distintos. Anteriormente se utilizaba para describir la existencia de capas de nucleones según un enfoque más cercano a lo que hoy se denomina teoría de campo medio . Actualmente, se refiere a un formalismo análogo al formalismo de interacción de configuraciones utilizado en química cuántica .

Se formulan algunas hipótesis básicas con el fin de proporcionar un marco conceptual preciso al modelo de concha:

• El núcleo atómico es un sistema cuántico de n cuerpos.
• El movimiento interno de los nucleones dentro del núcleo es no relativista, y su comportamiento se rige por la ecuación de Schrödinger .
• Se considera que los nucleones son puntuales, sin ninguna estructura interna.

El proceso general utilizado en los cálculos del modelo de capas es el siguiente. Primero, se define un hamiltoniano para el núcleo. Por lo general, para facilitar los cálculos, solo se consideran términos de uno y dos cuerpos en esta definición. La interacción es una teoría efectiva : contiene parámetros libres que deben ajustarse con datos experimentales.

El siguiente paso consiste en definir una base de estados de partícula única, es decir, un conjunto de funciones de onda que describan todos los estados posibles del nucleón. Generalmente, esta base se obtiene mediante un cálculo de Hartree-Fock . Con este conjunto de estados de partícula única, se construyen determinantes de Slater , es decir, funciones de onda para Z variables de protón o N variables de neutrón, que son productos antisimetrizados de funciones de onda de partícula única (antisimetrizado significa que, al intercambiar variables para cualquier par de nucleones, la función de onda solo cambia de signo).

En principio, el número de estados cuánticos disponibles para un solo nucleón a una energía finita es finito, digamos n . El número de nucleones en el núcleo debe ser menor que el número de estados disponibles; de lo contrario, el núcleo no puede contener todos sus nucleones. Por lo tanto, existen varias maneras de elegir Z (o N ) estados entre los n posibles. En matemáticas combinatorias , el número de elecciones de objetos Z entre n es el coeficiente binomial C ^Z _n . Si n es mucho mayor que Z (o N ), este valor aumenta aproximadamente como n ^Z. En la práctica, este número se vuelve tan grande que cualquier cálculo es imposible para A = N + Z mayor que 8.

Para evitar esta dificultad, el espacio de posibles estados de partícula única se divide en núcleo y valencia, por analogía con la química (véase electrón de núcleo y electrón de valencia ). El núcleo es un conjunto de partículas únicas que se suponen inactivas, en el sentido de que son los estados de energía más bajos bien ligados, y que no hay necesidad de reexaminar su situación. No aparecen en los determinantes de Slater, a diferencia de los estados en el espacio de valencia, que es el espacio de todos los estados de partícula única que no están en el núcleo , pero que posiblemente deban considerarse en la elección de la construcción de la función de onda de ( Z- ) N cuerpos. El conjunto de todos los posibles determinantes de Slater en el espacio de valencia define una base para los estados de ( Z- ) N cuerpos.

El último paso consiste en calcular la matriz del hamiltoniano dentro de esta base y diagonalizarla. A pesar de la reducción de la dimensión de la base debido a la fijación del núcleo, las matrices a diagonalizar alcanzan fácilmente dimensiones del orden de 10⁹ ^y requieren técnicas de diagonalización específicas.

Los cálculos del modelo de capa proporcionan, en general, un excelente ajuste con los datos experimentales. Sin embargo, dependen en gran medida de dos factores principales:

• La forma de dividir el espacio de una sola partícula en núcleo y valencia.
• La interacción efectiva nucleón-nucleón.

La interacción entre nucleones , consecuencia de las interacciones fuertes que los mantienen unidos dentro del núcleo, presenta un comportamiento peculiar: su alcance es finito. Se anula cuando la distancia entre dos nucleones es demasiado grande; es atractiva a distancias medias y repulsiva a distancias muy pequeñas. Esta última propiedad se correlaciona con el principio de exclusión de Pauli, según el cual dos fermiones (los nucleones son fermiones) no pueden estar en el mismo estado cuántico. Esto da como resultado un camino libre medio muy grande , predicho para un nucleón dentro del núcleo. ^{[ 9 ]}

La idea principal del enfoque de partículas independientes es que un nucleón se mueve dentro de un pozo de potencial determinado (que lo mantiene ligado al núcleo) independientemente de los demás nucleones. Esto equivale a reemplazar un problema de N cuerpos ( N partículas interactuando) por N problemas de un solo cuerpo. Esta simplificación esencial del problema es la piedra angular de las teorías de campo medio. Estas teorías también se utilizan ampliamente en física atómica , donde los electrones se mueven en un campo medio debido al núcleo central y a la propia nube electrónica.

El modelo de partículas independientes y las teorías de campo medio (veremos que existen varias variantes) describen con gran éxito las propiedades del núcleo a partir de una interacción efectiva o un potencial efectivo, constituyendo así una parte fundamental de la teoría del núcleo atómico. Cabe destacar también su modularidad, ya que resulta bastante sencillo extender el modelo para introducir efectos como el apareamiento nuclear o los movimientos colectivos del nucleón, como la rotación o la vibración , añadiendo los términos de energía correspondientes al formalismo. Esto implica que, en muchas representaciones, el campo medio es solo un punto de partida para una descripción más completa que introduce correlaciones que reproducen propiedades como las excitaciones colectivas y la transferencia de nucleones. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Gran parte de las dificultades prácticas que se presentan en las teorías de campo medio radica en la definición (o cálculo) del potencial del propio campo medio. A grandes rasgos, se pueden distinguir dos enfoques:

• El enfoque fenomenológico consiste en la parametrización del potencial nuclear mediante una función matemática apropiada. Históricamente, este procedimiento fue aplicado con gran éxito por Sven Gösta Nilsson , quien utilizó como potencial un oscilador armónico (deformado). Las parametrizaciones más recientes se basan en funciones más realistas, que describen con mayor precisión los experimentos de dispersión, por ejemplo. En particular , cabe mencionar la forma conocida como potencial de Woods-Saxon .
• El método autoconsistente o de Hartree-Fock busca deducir matemáticamente el potencial nuclear a partir de una interacción efectiva nucleón-nucleón. Esta técnica implica la solución iterativa de la ecuación de Schrödinger , partiendo de una función de onda de prueba y mejorándola variacionalmente, ya que el potencial depende de las funciones de onda que se deben determinar. Estas últimas se denominan determinantes de Slater .

En el caso de los métodos de Hartree-Fock, el problema no radica en encontrar la función matemática que mejor describa el potencial nuclear, sino la que mejor describa la interacción nucleón-nucleón. De hecho, a diferencia de la física atómica , donde la interacción es conocida (es la interacción de Coulomb ), la interacción nucleón-nucleón dentro del núcleo no se conoce analíticamente.

Existen dos razones principales para este hecho. En primer lugar, la interacción fuerte actúa esencialmente entre los quarks que forman los nucleones. La interacción nucleón-nucleón en el vacío es una mera consecuencia de la interacción quark-quark. Si bien esta última se comprende bien en el marco del Modelo Estándar a altas energías, resulta mucho más compleja a bajas energías debido al confinamiento de color y la libertad asintótica . Por lo tanto, aún no existe una teoría fundamental que permita deducir la interacción nucleón-nucleón a partir de la interacción quark-quark. Además, incluso si se resolviera este problema, persistiría una gran diferencia entre el caso ideal (y conceptualmente más simple) de dos nucleones interactuando en el vacío y el de estos nucleones interactuando en la materia nuclear. Para avanzar, fue necesario inventar el concepto de interacción efectiva . Esta última es básicamente una función matemática con varios parámetros arbitrarios, que se ajustan para concordar con los datos experimentales.

La mayoría de las interacciones modernas son de alcance cero, por lo que actúan solo cuando los dos nucleones están en contacto, como introdujo Tony Skyrme . ^{[ 12 ]} En un artículo fundamental ^{[ 13 ]} de Dominique Vautherin y David M. Brink se demostró que una fuerza de Skyrme que depende de la densidad puede reproducir propiedades básicas de los núcleos atómicos. Otra interacción comúnmente utilizada es la fuerza de Gogny de alcance finito, ^{[ 14 ]}

En el enfoque de Hartree-Fock para el problema de n cuerpos , el punto de partida es un hamiltoniano que contiene n términos de energía cinética y términos de potencial. Como se mencionó anteriormente, una de las hipótesis de la teoría de campo medio es que solo se debe considerar la interacción de dos cuerpos. El término de potencial del hamiltoniano representa todas las posibles interacciones de dos cuerpos en el conjunto de n fermiones . Esta es la primera hipótesis.

El segundo paso consiste en suponer que la función de onda del sistema puede escribirse como un determinante de Slater de espín-orbitales de una partícula . Esta afirmación es la traducción matemática del modelo de partículas independientes. Esta es la segunda hipótesis.

Ahora queda por determinar los componentes de este determinante de Slater, es decir, las funciones de onda individuales de los nucleones. Para ello, se supone que la función de onda total (el determinante de Slater) es tal que la energía es mínima. Esta es la tercera hipótesis.

Técnicamente, esto significa que se debe calcular el valor medio del hamiltoniano de dos cuerpos (conocido) sobre el determinante de Slater (desconocido) e imponer que su variación matemática sea nula. Esto conduce a un conjunto de ecuaciones cuyas incógnitas son las funciones de onda individuales: las ecuaciones de Hartree-Fock. La resolución de estas ecuaciones proporciona las funciones de onda y los niveles de energía individuales de los nucleones, y por lo tanto, la energía total del núcleo y su función de onda.

Esta breve explicación del método de Hartree-Fock aclara por qué también se le conoce como método variacional . Al inicio del cálculo, la energía total es una función de las funciones de onda individuales (un funcional), y todo se realiza para optimizar la elección de estas funciones de onda de manera que el funcional tenga un mínimo, idealmente absoluto y no solo local. Para ser más precisos, cabe mencionar que la energía es un funcional de la densidad , definida como la suma de los cuadrados de las funciones de onda individuales. El método de Hartree-Fock también se utiliza en física atómica y física de la materia condensada como Teoría del Funcional de la Densidad (DFT).

El proceso de resolución de las ecuaciones de Hartree-Fock solo puede ser iterativo, ya que se trata, de hecho, de una ecuación de Schrödinger en la que el potencial depende de la densidad , es decir, precisamente de las funciones de onda que se van a determinar. En la práctica, el algoritmo se inicia con un conjunto de funciones de onda individuales razonables (generalmente las autofunciones de un oscilador armónico ). Estas permiten calcular la densidad y, por consiguiente, el potencial de Hartree-Fock. Una vez hecho esto, se resuelve de nuevo la ecuación de Schrödinger, y así sucesivamente. El cálculo se detiene —se alcanza la convergencia— cuando la diferencia entre las funciones de onda, o niveles de energía, para dos iteraciones sucesivas es menor que un valor fijo. Entonces, el potencial de campo medio queda completamente determinado y las ecuaciones de Hartree-Fock se convierten en ecuaciones de Schrödinger estándar. El hamiltoniano correspondiente se denomina entonces hamiltoniano de Hartree-Fock.

Nacidos por primera vez en la década de 1970 con los trabajos de John Dirk Walecka sobre hadrodinámica cuántica , los modelos relativistas del núcleo fueron perfeccionados hacia finales de la década de 1980 por P. Ring y colaboradores. El punto de partida de estos enfoques es la teoría cuántica de campos relativista . En este contexto, las interacciones de los nucleones ocurren a través del intercambio de partículas virtuales llamadas mesones . La idea es, en primer lugar, construir un lagrangiano que contenga estos términos de interacción. En segundo lugar, mediante la aplicación del principio de mínima acción , se obtiene un conjunto de ecuaciones de movimiento. Las partículas reales (en este caso, los nucleones) obedecen la ecuación de Dirac , mientras que las virtuales (en este caso, los mesones) obedecen las ecuaciones de Klein-Gordon .

En vista de la naturaleza no perturbativa de la interacción fuerte, y también debido a que la forma potencial exacta de esta interacción entre grupos de nucleones se conoce relativamente mal, el uso de tal enfoque en el caso de núcleos atómicos requiere aproximaciones drásticas. La principal simplificación consiste en reemplazar en las ecuaciones todos los términos de campo (que son operadores en el sentido matemático) por su valor medio (que son funciones ). De esta manera, se obtiene un sistema de ecuaciones integro-diferenciales acopladas , que puede resolverse numéricamente, si no analíticamente.

El modelo de bosones interactuantes (IBM, por sus siglas en inglés) es un modelo de física nuclear en el que los nucleones se representan como pares, cada uno de ellos actuando como una partícula bosónica con espín integral de 0, 2 o 4. Esto permite realizar cálculos para núcleos de mayor tamaño. Existen varias ramas de este modelo: en una de ellas (IBM-1) se pueden agrupar todos los tipos de nucleones en pares, mientras que en otras (por ejemplo, IBM-2) se consideran los protones y neutrones en pares por separado.

Uno de los pilares fundamentales de la física es la simetría . La interacción nucleón-nucleón y todas las interacciones efectivas utilizadas en la práctica poseen ciertas simetrías. Son invariantes ante traslaciones (cambio del sistema de referencia sin alterar las direcciones), rotaciones (giro del sistema de referencia alrededor de un eje) o paridad (cambio del sentido de los ejes), en el sentido de que la interacción no se modifica bajo ninguna de estas operaciones. Sin embargo, en el método de Hartree-Fock, pueden aparecer soluciones que no son invariantes bajo dicha simetría. En ese caso, se habla de ruptura espontánea de simetría .

Cualitativamente, estas rupturas espontáneas de simetría pueden explicarse de la siguiente manera: en la teoría del campo medio, el núcleo se describe como un conjunto de partículas independientes. La mayoría de las correlaciones adicionales entre nucleones que no entran en el campo medio se desprecian. Sin embargo, pueden aparecer debido a una ruptura de la simetría del hamiltoniano del campo medio, que es solo una aproximación. Si la densidad utilizada para iniciar las iteraciones del proceso de Hartree-Fock rompe ciertas simetrías, el hamiltoniano final de Hartree-Fock puede romper estas simetrías, si resulta ventajoso mantenerlas rotas desde el punto de vista de la energía total.

También puede converger hacia una solución simétrica. En cualquier caso, si la solución final rompe la simetría, por ejemplo, la simetría rotacional, de modo que el núcleo no parece ser esférico, sino elíptico, todas las configuraciones deducidas de este núcleo deformado por una rotación son igualmente buenas soluciones para el problema de Hartree-Fock. El estado fundamental del núcleo es entonces degenerado .

Un fenómeno similar ocurre con el apareamiento nuclear, que viola la conservación del número de bariones (véase más abajo).

La extensión más común de la teoría del campo medio es el apareamiento nuclear. Los núcleos con un número par de nucleones están sistemáticamente más ligados que aquellos con un número impar. Esto implica que cada nucleón se une a otro para formar un par; por consiguiente, el sistema no puede describirse como partículas independientes sometidas a un campo medio común. Cuando el núcleo tiene un número par de protones y neutrones, cada uno de ellos encuentra un compañero. Para excitar dicho sistema, se debe utilizar al menos la energía suficiente para romper un par. Por el contrario, en el caso de un número impar de protones o neutrones, existe un nucleón desapareado, que requiere menos energía para ser excitado.

Este fenómeno es muy similar al de la superconductividad de tipo 1 en la física del estado sólido. La primera descripción teórica del apareamiento nuclear fue propuesta a finales de la década de 1950 por Aage Bohr , Ben Mottelson y David Pines (lo que contribuyó a que Bohr y Mottelson recibieran el Premio Nobel de Física en 1975). ^{[ 15 ]} Era similar a la teoría BCS de Bardeen, Cooper y Schrieffer, que explica la superconductividad de los metales. Teóricamente, el fenómeno de apareamiento descrito por la teoría BCS se combina con la teoría del campo medio: los nucleones están sujetos tanto al potencial del campo medio como a la interacción de apareamiento.

El método Hartree-Fock-Bogolyubov (HFB) es un enfoque más sofisticado, ^{[ 16 ]} que permite considerar las interacciones de apareamiento y de campo medio de forma consistente y en igualdad de condiciones. El HFB es actualmente el estándar de facto en el tratamiento de campo medio de sistemas nucleares.

La particularidad de los métodos de campo medio radica en el cálculo de las propiedades nucleares mediante la ruptura explícita de la simetría . El cálculo del campo medio con métodos autoconsistentes (por ejemplo, Hartree-Fock) rompe la simetría rotacional, y el cálculo de la propiedad de apareamiento rompe la simetría de número de partículas.

Se han desarrollado varias técnicas para la restauración de la simetría mediante la proyección sobre buenos números cuánticos. ^{[ 17 ]}

Los métodos de campo medio (que eventualmente consideran la restauración de la simetría) constituyen una buena aproximación para el estado fundamental del sistema, incluso postulando un sistema de partículas independientes. Las correcciones de orden superior consideran la interacción entre las partículas mediante correlación. Estas correlaciones pueden introducirse teniendo en cuenta el acoplamiento de los grados de libertad de partículas independientes y la excitación colectiva de baja energía de sistemas con un número par de protones y neutrones.

De esta forma, los estados excitados pueden reproducirse mediante la aproximación de fase aleatoria (RPA), calculando también de forma consistente las correcciones al estado fundamental (por ejemplo, mediante la teoría del campo nuclear ^{[ 11 ]} ).

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