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aproximación de fase aleatoria

Diagramas de burbujas, que al sumarse dan como resultado la RPA. Las líneas continuas representan las funciones de Green con o sin interacción , y las líneas discontinuas, las i...

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Diagramas de burbujas, que al sumarse dan como resultado la RPA. Las líneas continuas representan las funciones de Green con o sin interacción , y las líneas discontinuas, las interacciones entre dos partículas.

La aproximación de fase aleatoria ( RPA ) es un método de aproximación en física de la materia condensada y física nuclear . Fue introducida por primera vez por David Bohm y David Pines como un resultado importante en una serie de artículos fundamentales de 1952 y 1953. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Durante décadas, los físicos habían intentado incorporar el efecto de las interacciones mecánicas cuánticas microscópicas entre electrones en la teoría de la materia. La RPA de Bohm y Pines tiene en cuenta la interacción de Coulomb apantallada débil y se utiliza comúnmente para describir la respuesta electrónica lineal dinámica de los sistemas de electrones. Posteriormente se desarrolló a la forma relativista (RRPA) mediante la resolución de la ecuación de Dirac . [ 4 ] [ 5 ]

En el RPA, se supone que los electrones responden solo al potencial eléctrico total V ( r ) que es la suma del potencial perturbador externo V ext ( r ) y un potencial de apantallamiento V sc ( r ). Se supone que el potencial perturbador externo oscila a una única frecuencia ω , de modo que el modelo produce mediante un método de campo autoconsistente (SCF) [ 6 ] una función dieléctrica dinámica denotada por ε RPA ( k , ω ).

Se supone que la contribución a la función dieléctrica del potencial eléctrico total se promedia , de modo que solo contribuye el potencial en el vector de onda k . Esto es lo que se entiende por la aproximación de fase aleatoria. La función dieléctrica resultante, también llamada función dieléctrica de Lindhard , [ 7 ] [ 8 ] predice correctamente varias propiedades del gas de electrones, incluidos los plasmones . [ 9 ]

La aproximación de fase aleatoria (RPA) fue criticada a finales de la década de 1950 por sobreestimar los grados de libertad, y la necesidad de justificarla impulsó un intenso trabajo entre los físicos teóricos. En un artículo fundamental, Murray Gell-Mann y Keith Brueckner demostraron que la RPA puede derivarse de una suma de diagramas de Feynman de cadena de orden principal en un gas de electrones denso. [ 10 ]

En superconductividad , RPA se puede utilizar para derivar la interacción de Bardeen-Pines entre fonones y electrones que conduce al apareamiento de Cooper . [ 11 ]

La coherencia de estos resultados se convirtió en una justificación importante y motivó un fuerte crecimiento de la física teórica a finales de los años 50 y durante los años 60.

Aplicaciones

Estado fundamental de un sistema bosónico interactuante

El vacío RPA|RPAGA⟩{\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle }para un sistema bosónico se puede expresar en términos de vacío bosónico no correlacionado|METROFT⟩{\displaystyle \left|\mathrm {MFT} \right\rangle } y excitaciones de bosones originalesai†{\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }}

|RPAGA⟩=nortemiZijai†aj†/2|METROFT⟩{\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle }

donde Z es una matriz simétrica con |Z|≤1{\displaystyle |Z|\leq 1}y

norte=⟨METROFT|RPAGA⟩⟨METROFT|METROFT⟩{\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}}

La normalización se puede calcular mediante

⟨RPAGA|RPAGA⟩=norte2⟨METROFT|mizi(q~i)2/2mizj(q~j†)2/2|METROFT⟩=1{\displaystyle \langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1}

dóndeZij=(incógnitat)ikzkincógnitajk{\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}es la descomposición en valores singulares deZij{\displaystyle Z_{ij}}. q~i=(incógnita†)jiaj{\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}}

norte−2=∑metroi∑nortej(zi/2)metroi(zj/2)nortejmetro¡norte¡⟨METROFT|∏ij(q~i)2metroi(q~j†)2nortej|METROFT⟩{\displaystyle {\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle }
=∏i∑metroi(zi/2)2metroi(2metroi)¡metroi¡2={\displaystyle =\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=}
∏i∑metroi(zi)2metroi(1/2metroi)=det(1−|Z|2){\displaystyle \prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}}

La conexión entre las excitaciones nuevas y antiguas viene dada por

a~i=(11−Z2)ijaj+(11−Z2Z)ijaj†{\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }}.

Referencias

  1. ↑ Bohm, David ; Pines, David (1 de mayo de 1951). "Una descripción colectiva de las interacciones electrónicas. I. Interacciones magnéticas". Physical Review . 82 (5). American Physical Society (APS): 625– 634. Bibcode : 1951PhRv...82..625B . doi : 10.1103/physrev.82.625 . ISSN 0031-899X . 
  2. ↑ Pines, David ; Bohm, David (15 de enero de 1952). "Una descripción colectiva de las interacciones electrónicas: II. Aspectos colectivos frente a individuales de las interacciones de partículas". Physical Review . 85 (2). American Physical Society (APS): 338–353 . Bibcode : 1952PhRv...85..338P . doi : 10.1103/physrev.85.338 . ISSN 0031-899X . 
  3. ↑ Bohm, David ; Pines, David (1 de octubre de 1953). "Una descripción colectiva de las interacciones electrónicas: III. Interacciones de Coulomb en un gas de electrones degenerado". Physical Review . 92 (3). American Physical Society (APS): 609– 625. Bibcode : 1953PhRv...92..609B . doi : 10.1103/physrev.92.609 . ISSN 0031-899X . 
  4. ↑ Deshmukh, Pranawa C. ; Manson, Steven T. (septiembre de 2022). "Fotoionización de sistemas atómicos utilizando la aproximación de fase aleatoria que incluye interacciones relativistas" . Atoms . 10 (3): 71. Bibcode : 2022Atoms..10...71D . doi : 10.3390/atoms10030071 . ISSN 2218-2004 . 
  5. ↑ Johnson, WR; Lin, CD; Cheng, KT; Lee, CM (1980-01-01). "Aproximación de fase aleatoria relativista" . Physica Scripta . 21 ( 3–4 ): 409–422 . Bibcode : 1980PhyS...21..409J . doi : 10.1088/0031-8949/21/3-4/029 . ISSN 0031-8949 . S2CID 94058089 .  
  6. ↑ Ehrenreich, H.; Cohen, MH (15 de agosto de 1959). "Enfoque de campo autoconsistente al problema de muchos electrones". Physical Review . 115 (4). American Physical Society (APS): 786– 790. Bibcode : 1959PhRv..115..786E . doi : 10.1103/physrev.115.786 . ISSN 0031-899X . 
  7. ^ J. Lindhard (1954). "Sobre las propiedades de un gas de partículas cargadas" (PDF) . Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-Fysiske Meddelelser . 28 (8).
  8. ↑ NW Ashcroft y ND Mermin, Física del estado sólido (Thomson Learning, Toronto, 1976)
  9. ↑ GD Mahan, Física de muchas partículas , 2.ª ed. (Plenum Press, Nueva York, 1990)
  10. ↑ Gell-Mann, Murray; Brueckner, Keith A. (15 de abril de 1957). "Energía de correlación de un gas de electrones a alta densidad" (PDF) . Physical Review . 106 (2). American Physical Society (APS): 364–368 . Bibcode : 1957PhRv..106..364G . doi : 10.1103/physrev.106.364 . ISSN 0031-899X . S2CID 120701027 .  
  11. ↑ Coleman, Piers (26 de noviembre de 2015). Introducción a la física de muchos cuerpos . Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-43202-0.
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