Juego en forma normal

En teoría de juegos , la forma normal es una descripción de un juego . A diferencia de la forma extensiva , las representaciones en forma normal no son gráficas propiamente dichas , sino que representan el juego mediante una matriz . Si bien este enfoque puede ser más útil para identificar estrategias estrictamente dominadas y equilibrios de Nash , se pierde cierta información en comparación con las representaciones en forma extensiva. La representación en forma normal de un juego incluye todas las estrategias perceptibles y concebibles , y sus correspondientes recompensas, para cada jugador.

En juegos estáticos de información completa y perfecta , una representación en forma normal de un juego es una especificación de los espacios de estrategias y las funciones de pago de los jugadores. Un espacio de estrategias para un jugador es el conjunto de todas las estrategias disponibles para ese jugador, mientras que una estrategia es un plan de acción completo para cada etapa del juego, independientemente de si esa etapa se presenta o no durante el juego. Una función de pago para un jugador es una correspondencia entre el producto vectorial de los espacios de estrategias de los jugadores y el conjunto de pagos de ese jugador (normalmente el conjunto de números reales, donde el número representa una utilidad cardinal u ordinal —a menudo cardinal en la representación en forma normal) de un jugador; es decir, la función de pago de un jugador toma como entrada un perfil de estrategias (que es una especificación de estrategias para cada jugador) y produce una representación del pago como salida.

La matriz proporcionada es una representación en forma normal de un juego en el que los jugadores se mueven simultáneamente (o al menos no observan el movimiento del otro jugador antes de realizar el suyo) y reciben las recompensas especificadas para las combinaciones de acciones realizadas. Por ejemplo, si el jugador 1 juega arriba y el jugador 2 juega izquierda, el jugador 1 recibe 4 y el jugador 2 recibe 3. En cada celda, el primer número representa la recompensa para el jugador de la fila (en este caso, el jugador 1), y el segundo número representa la recompensa para el jugador de la columna (en este caso, el jugador 2).

Otras representaciones

A menudo, los juegos simétricos (donde las recompensas no dependen de qué jugador elija cada acción) se representan con una sola recompensa. Esta es la recompensa del jugador de la fila. Por ejemplo, las matrices de recompensas de la derecha y la izquierda que se muestran a continuación representan el mismo juego.

También se puede representar el espacio topológico de juegos con matrices de pagos relacionadas, donde los juegos adyacentes tienen las matrices más similares. Esto demuestra cómo los cambios incrementales en los incentivos pueden modificar el juego.

Para que un juego esté en su forma normal, se nos proporcionan los siguientes datos:

Existe un conjunto finito I de jugadores, cada jugador se denota por i . Cada jugador i tiene un número finito k de estrategias puras.

${\displaystyle S_{i}=\{1,2,\ldots ,k\}.}$

AEl perfil de estrategia pura es una asociación de estrategias con jugadores, es decir, unaI-tupla.

${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{I})}$

de tal manera que

${\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{I}\in S_{I}}$

ALa función de pago es una función

${\displaystyle u_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{I}\rightarrow \mathbb {R} .}$

cuya interpretación prevista es el premio otorgado a un solo jugador al final del juego. Por consiguiente, para especificar completamente un juego, la función de pago debe especificarse para cada jugador en el conjunto de jugadores I = {1, 2, ..., I }.

Definición : Un juego en forma normal es una estructura

${\displaystyle \mathrm {T} =\langle I,\mathbf {S} ,\mathbf {u} \rangle }$

dónde:

${\displaystyle I=\{1,2,\ldots ,I\}}$

es un conjunto de jugadores,

${\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{I}\}}$

es una I -tupla de conjuntos de estrategias puras, uno para cada jugador, y

${\displaystyle \mathbf {u} =\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{I}\}}$

es una I -tupla de funciones de pago.

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• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: Fundamentos algorítmicos, de teoría de juegos y lógicos . Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Una referencia completa desde una perspectiva computacional; véase el Capítulo 3. Descargable gratuitamente en línea .
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