Colección de conjuntos anidados

Una colección de conjuntos anidados o una familia de conjuntos anidados es una colección de conjuntos que consta de cadenas de subconjuntos que forman una estructura jerárquica, como las muñecas rusas .

Se utiliza como concepto de referencia en las definiciones de jerarquía científica y en muchos enfoques técnicos, como el árbol en las estructuras de datos computacionales o el modelo de conjuntos anidados de bases de datos relacionales .

A veces el concepto se confunde con una colección de conjuntos con una propiedad hereditaria (como la finitud en un conjunto hereditariamente finito ).

Algunos autores consideran que una colección de conjuntos anidados es una familia de conjuntos. Otros ^[1] prefieren clasificarla como una relación de orden de inclusión .

Sea B un conjunto no vacío y C una colección de subconjuntos de B. Entonces C es una colección de conjuntos anidados si:

• ${\displaystyle B\in \mathbf {C}}$(y, para algunos autores, )${\displaystyle \conjunto vacío \notin \mathbf {C} }$
• ${\displaystyle \forall H,K\in \mathbf {C} ~:~H\cap K\neq \emptyset \implies H\subset K~\lor ~K\subset H}$

La primera condición establece que todo el conjunto B , que contiene todos los elementos de cada subconjunto, debe pertenecer a la colección de conjuntos anidados. Algunos autores ^[1] no suponen que B no esté vacío.

La segunda condición establece que la intersección de cada par de conjuntos en la colección de conjuntos anidados no es el conjunto vacío solo si un conjunto es un subconjunto del otro. ^[2]

En particular , al escanear todos los pares de subconjuntos en la segunda condición, es cierto para cualquier combinación con B.

Utilizando un conjunto de elementos atómicos , como el conjunto de los palos de las cartas de juego :

B = {♠, ♥, ♦, ♣};     B ₁ = {♠, ♥};   B ₂ = {♦, ♣};   B ₃ = {♣};
C = { B , B ₁ , B ₂ , B ₃ }.

La segunda condición de la definición formal se puede comprobar combinando todos los pares:

B1 ∩ B2 = _∅ ;  _B1 ∩ _B3 =  _{∅ ; B3} ⊂ B2 .​​

Existe una jerarquía que puede expresarse mediante dos ramas y su orden anidado: B ₃ ⊂ B ₂ ⊂ B ;  B ₁ ⊂ B .

Como conjuntos que son abstracciones generales y fundamentos para muchos conceptos, el conjunto anidado es la base para la "jerarquía anidada", la "jerarquía de contención" y otras.

Una jerarquía anidada o jerarquía de inclusión es un ordenamiento jerárquico de conjuntos anidados . ^[3] El concepto de anidación se ejemplifica en las muñecas rusas matrioska . Cada muñeca está rodeada por otra muñeca, hasta llegar a la muñeca exterior. La muñeca exterior contiene todas las muñecas interiores, la siguiente muñeca exterior contiene todas las muñecas interiores restantes, y así sucesivamente. Las matrioskas representan una jerarquía anidada donde cada nivel contiene solo un objeto, es decir, solo hay una de cada tamaño de muñeca; una jerarquía anidada generalizada permite múltiples objetos dentro de los niveles, pero cada objeto tiene solo un padre en cada nivel. Para ilustrar el concepto general:

${\displaystyle {\text{cuadrado}}\subconjunto {\text{cuadrilátero}}\subconjunto {\text{polígono}}\subconjunto {\text{forma}}\,}$

Un cuadrado también puede denominarse cuadrilátero, polígono o figura. De esta manera, se trata de una jerarquía. Sin embargo, considere el conjunto de polígonos que utilizan esta clasificación. Un cuadrado solo puede ser un cuadrilátero; nunca puede ser un triángulo , hexágono , etc.

Las jerarquías anidadas son los esquemas organizativos que sustentan las taxonomías y las clasificaciones sistemáticas. Por ejemplo, si se utiliza la taxonomía original de Linneo (la versión que presentó en la décima edición de Systema Naturae ), un ser humano puede formularse como: ^[4]

${\displaystyle {\text{Homo sapiens}}\subconjunto {\text{Primates}}\subconjunto {\text{Mammalia}}\subconjunto {\text{Animalia}}}$

Las taxonomías pueden cambiar con frecuencia (como se ve en la taxonomía biológica ), pero el concepto subyacente de jerarquías anidadas es siempre el mismo.

Una jerarquía de contención es una extrapolación directa del concepto de jerarquía anidada. Todos los conjuntos ordenados siguen estando anidados, pero cada conjunto debe ser " estricto ": no puede haber dos conjuntos idénticos. El ejemplo de formas anterior se puede modificar para demostrarlo:

${\displaystyle {\text{cuadrado}}\subsetneq {\text{cuadrilátero}}\subsetneq {\text{polígono}}\subsetneq {\text{forma}}\,}$

La notación significa que x es un subconjunto de y pero no es igual a  y . ${\displaystyle x\subsetneq y\,}$

La jerarquía de contención se utiliza en la herencia de clases de la programación orientada a objetos .

• Conjunto contable hereditario
• Propiedad hereditaria
• Jerarquía (matemáticas)
• Modelo de conjunto anidado para almacenar información jerárquica en bases de datos relacionales