Semántica de vecindario

La semántica de vecindad , también conocida como semántica de Scott-Montague , es una semántica formal para lógicas modales . Es una generalización, desarrollada independientemente por Dana Scott y Richard Montague , de la semántica relacional más conocida para lógica modal. Mientras que un marco relacional${\displaystyle \langle W,R\rangle }$Consiste en un conjunto W de mundos (o estados) y una relación de accesibilidad R destinada a indicar qué mundos son alternativas a (o accesibles desde) otros, un marco de vecindad.${\displaystyle \langle W,N\rangle }$Todavía tiene un conjunto W de mundos, pero en lugar de una relación de accesibilidad tiene una función de vecindario.

${\displaystyle N:W\a 2^{2^{W}}}$

que asigna a cada elemento de W un conjunto de subconjuntos de W. Intuitivamente, cada familia de subconjuntos asignada a un mundo son las proposiciones necesarias en ese mundo, donde 'proposición' se define como un subconjunto de W (es decir, el conjunto de mundos en los que la proposición es verdadera). Específicamente, si M es un modelo en el marco, entonces

${\displaystyle M,w\models \square \varphi \Longleftrightarrow (\varphi )^{M}\in N(w),}$

dónde

${\displaystyle (\varphi )^{M}=\{u\in W\mid M,u\models \varphi \}}$

es el conjunto de verdades de${\displaystyle \varphi }$.

La semántica de vecindad se utiliza para las lógicas modales clásicas que son estrictamente más débiles que la lógica modal normal K.

A cada modelo relacional M = ( W , R , V ) le corresponde un modelo de vecindad equivalente (en el sentido de tener teorías modales idénticas punto por punto) M' = ( W , N , V ) definido por

${\displaystyle N(w)=\{(\varphi )^{M}\mid M,w\models \Box \varphi \}.}$

Pero esta no es la única opción posible para la equivalencia, N también puede definirse solo con referencia a R (y W ):

${\displaystyle N'(w)=\{X\subseteq W\mid \{u\in W\mid wRu\}\subseteq X\}.}$

Para cualquier w , N'(w) contiene a N(w) pero puede ser estrictamente mayor, ya que algunos de sus elementos pueden no ser el conjunto de verdad de ninguna fórmula en M.

El hecho de que lo contrario falle da un sentido preciso a la observación de que los modelos de vecindad son una generalización de los relacionales. Otra generalización (quizás más natural) de las estructuras relacionales son los marcos generales .

Utilizando ese subconjunto${\displaystyle 2^{W}}$es equivalente a su función característica${\displaystyle W\to 2}$, una función del vecindario${\displaystyle N}$También puede entenderse como un transformador de predicados:

${\displaystyle (W\to 2^{2^{W}})\cong (W\to 2^{W}\to 2)\cong (2^{W}\to W\to 2)\cong (2^{W}\to 2^{W})}$

• Chellas, BF Lógica modal . Cambridge University Press, 1980.
• Montague, R. "Gramática universal", Theoria 36, ​​373–98, 1970.
• Scott, D. "Consejos sobre lógica modal", en Problemas filosóficos en lógica , ed. Karel Lambert. Reidel, 1970.