Los números naturales son objeto

En la teoría de categorías en matemáticas, un objeto de números naturales ( ONN ) es un objeto dotado de una estructura recursiva similar a la de los números naturales . Más precisamente, en una categoría E con un objeto terminal 1, un ONN N viene dado por:

1. un elemento global z  : 1 → N , y
2. una flecha s  : N → N ,

de tal manera que para cualquier objeto A de E , elemento global q  : 1 → A y flecha f  : A → A , existe una única flecha u  : N → A tal que:

1. u ∘ z = q , y
2. tu ∘ s = F ∘ tu . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

En otras palabras, el triángulo y el cuadrado del siguiente diagrama son conmutativos.

El par ( q , f ) se denomina a veces datos de recursión para u , dados en forma de una definición recursiva :

1. ⊢ u ( z ) = q
2. y ∈ _E N ⊢ u ( s y ) = f ( u ( y ))

La definición anterior es la propiedad universal de los NNO, lo que significa que están definidos salvo isomorfismo canónico . Si la flecha u, tal como se definió anteriormente, simplemente tiene que existir, es decir, no se requiere unicidad, entonces N se denomina un NNO débil .

Los NNO en categorías cartesianas cerradas (CCC) a veces se definen de la siguiente manera equivalente (debido a Lawvere ): para cada par de flechas g  : A → B y f  : B → B , existe un único h  : N × A → B tal que los cuadrados en el siguiente diagrama conmutan. ^{[ 4 ]}

Esta misma construcción define NNO débiles en categorías cartesianas que no son cartesianas cerradas.

En una categoría con un objeto terminal 1 y coproductos binarios (denotados por +), un NNO puede definirse como el álgebra inicial del endofunctor que actúa sobre los objetos mediante X ↦ 1 + X y sobre las flechas mediante f ↦ id ₁ + f . ^{[ 5 ]}

• Cada NNO es un objeto inicial de la categoría de diagramas de la forma

${\displaystyle 1{\xrightarrow {~\quad q\quad ~}}A{\xrightarrow {~\quad f\quad ~}}A}$

• Si una categoría cartesiana cerrada tiene NNO débiles, entonces cada porción de ella también tiene un NNO débil.
• Los NNO pueden utilizarse para modelos no estándar de teoría de tipos de forma análoga a como se utilizan para modelos no estándar de análisis. Estas categorías (o topos) suelen tener una cantidad «infinita» de números naturales no estándar. (Como siempre, existen maneras sencillas de obtener NNO no estándar; por ejemplo, si z = sz , en cuyo caso la categoría o topos E es trivial).
• Freyd demostró que z y s forman un diagrama de coproducto para NNOs; además,  ! _N  : N → 1 es un coecualizador de s y 1 _N , es decir , cada par de elementos globales de N están conectados por medio de s ; además, este par de hechos caracteriza a todos los NNOs.

• En Set , la categoría de conjuntos , los números naturales estándar son un NNO. ^{[ 6 ]} Un objeto terminal en Set es un singleton , y una función de un singleton selecciona un único elemento de un conjunto. Los números naturales 𝐍 son un NNO donde z es una función de un singleton a 𝐍 cuya imagen es cero, y s es la función sucesora . (De hecho, podríamos permitir que z seleccione cualquier elemento de 𝐍, y el NNO resultante sería isomorfo a este). Se puede demostrar que el diagrama en la definición conmuta usando inducción matemática .
• En la categoría de tipos de la teoría de tipos de Martin-Löf (donde los tipos son objetos y las funciones flechas), el tipo estándar de números naturales nat es un NNO. Se puede usar el recursor para nat para demostrar que el diagrama correspondiente conmuta.
• Supongamos que${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es un topos de Grothendieck con objeto terminal${\displaystyle \top }$y eso${\displaystyle {\mathcal {E}}\simeq \mathbf {Shv} ({\mathfrak {C}},J)}$para cierta topología de Grothendieck${\displaystyle J}$en la categoría${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$. Entonces si${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {N} }}$es la gavilla constante en${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, luego el NNO en${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es la cesación de${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {N} }}$y puede mostrarse que toma la forma$${\displaystyle \mathbb {N} _{\mathcal {E}}\cong \left(\Gamma _{\mathbb {N} }\right)^{++}\cong \coprod _{n\in \mathbb {N} }\top .}$$

• Axiomas de aritmética de Peano
• Lógica categórica

• Johnstone, Peter T. (2002). Bocetos de un elefante: un compendio de la teoría del topo . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0198534256OCLC 50164783​​ 
• Lawvere, William (2005) [1964]. "Una teoría elemental de la categoría de conjuntos (versión larga) con comentarios" . Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de las categorías . 11 : 1–35 .

• Apuntes de clase de Robert Harper que tratan sobre los NNO en la Sección 2.2: https://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/notes/notes_week3.pdf
• Una entrada de blog de Clive Newstead en el n -Category Cafe: https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/01/an_elementary_theory_of_the_ca.html
• Notas sobre tipos de datos como álgebras para endofuntores por el científico informático Philip Wadler : http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt
• Notas sobre nLab : https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS