Filtración natural

En la teoría de procesos estocásticos en matemáticas y estadística , la filtración generada o filtración natural asociada a un proceso estocástico es una filtración asociada al proceso que registra su "comportamiento pasado" en cada momento. Es en cierto sentido la filtración más simple disponible para estudiar el proceso dado: toda la información relativa al proceso, y solo esa información, está disponible en la filtración natural.

Más formalmente, sea (Ω, F , P ) un espacio de probabilidad ; sea ( I , ≤) un conjunto de índices totalmente ordenado ; sea ( S , Σ) un espacio medible ; sea X  : I × Ω → S un proceso estocástico. Entonces, la filtración natural de F con respecto a X se define como la filtración F _• ^X = ( F _i ^X ) _{i ∈ I} dada por

${\displaystyle F_{i}^{X}=\sigma \left\{\left.X_{j}^{-1}(A)\right|j\in I,j\leq i,A\in \Sigma \right\},}$

es decir, el σ -álgebra más pequeña en Ω que contiene todas las preimágenes de los subconjuntos Σ-medibles de S para "tiempos" j hasta i .

En muchos ejemplos, el conjunto índice I son los números naturales N (posiblemente incluido el 0) o un intervalo [0, T ] o [0, +∞); el espacio de estados S es a menudo la línea real R o el espacio euclidiano R ⁿ .

Cualquier proceso estocástico X es un proceso adaptado con respecto a su filtración natural.

• Delia Coculescu; Ashkan Nikeghbali (2010), "Filtraciones", Enciclopedia de finanzas cuantitativas

• Filtración (matemáticas)