Teorema de Nachbin

En matemáticas , en el área de análisis complejo , el teorema de Nachbin (llamado así por Leopoldo Nachbin ) es un resultado utilizado para establecer límites a las tasas de crecimiento de las funciones analíticas . En particular, el teorema de Nachbin puede utilizarse para dar el dominio de convergencia de la transformada de Borel generalizada , también llamada sumatoria de Nachbin .

Este artículo ofrece una breve revisión de las tasas de crecimiento, incluida la idea de una función de tipo exponencial . La clasificación de las tasas de crecimiento según el tipo ayuda a proporcionar una herramienta más precisa que la notación O grande o la notación de Landau , ya que se pueden enunciar varios teoremas sobre la estructura analítica de la función acotada y sus transformadas integrales .

Una función definida en el plano complejo se dice que es de tipo exponencial si existen constantes y tales que ${\displaystyle f(z)}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización \alpha}$

${\displaystyle |f(re^{i\theta})|\leq Me^{\alpha r}}$

en el límite de . Aquí, la variable compleja se escribió para enfatizar que el límite debe cumplirse en todas las direcciones . Si se deja que n represente el ínfimo de todas esas , se dice entonces que la función es de tipo exponencial . ${\displaystyle r\to \infty}$ ${\estilo de visualización z}$${\displaystyle z=re^{i\theta}}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \alpha}$

Por ejemplo, sea . Entonces se dice que es de tipo exponencial , ya que es el número más pequeño que limita el crecimiento de a lo largo del eje imaginario. Por lo tanto, para este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que . ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$${\displaystyle \sin(\pi z)}$${\estilo de visualización \pi}$${\estilo de visualización \pi}$${\displaystyle \sin(\pi z)}$${\estilo de visualización \pi}$

Se pueden definir tipos de funciones adicionales para otras funciones de límite además de la función exponencial. En general, una función es una función de comparación si tiene una serie ${\displaystyle \Psi(t)}$

${\displaystyle \Psi(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

con para todos , y ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

Las funciones de comparación son necesariamente enteras , lo que se deduce de la prueba de proporción . Si es una función de comparación de este tipo, se dice que es de tipo si existen constantes y tales que ${\displaystyle \Psi(t)}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \Psi}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

como . Si es el ínfimo de todos se dice que es de tipo . ${\displaystyle r\to \infty}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \Psi}$${\estilo de visualización \tau}$

El teorema de Nachbin establece que una función con la serie ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

es de tipo si y solo si ${\estilo de visualización \Psi}$${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

Esto está naturalmente conectado con la prueba de la raíz y puede considerarse un pariente del teorema de Cauchy-Hadamard .

El teorema de Nachbin tiene aplicaciones inmediatas en situaciones similares al teorema de Cauchy y para transformadas integrales . Por ejemplo, la transformada de Borel generalizada está dada por

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

Si es de tipo , entonces el exterior del dominio de convergencia de , y todos sus puntos singulares, están contenidos dentro del disco ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \Psi}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización F(w)}$

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

Además, uno tiene

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

donde el contorno de integración γ rodea el disco . Esto generaliza la transformada de Borel habitual para funciones de tipo exponencial, donde . La forma integral para la transformada de Borel generalizada también se deduce. Sea una función cuya primera derivada está acotada en el intervalo y que satisface la ecuación definitoria ${\displaystyle |w|\leq \tau }$${\displaystyle \Psi(t)=e^{t}}$${\displaystyle \alpha(t)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

donde . Entonces la forma integral de la transformada de Borel generalizada es ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

La transformada de Borel ordinaria se recupera estableciendo . Nótese que la forma integral de la transformada de Borel es la transformada de Laplace . ${\displaystyle \alpha(t)=e^{-t}}$

La suma de Nachbin se puede utilizar para sumar series divergentes que la suma de Borel no permite, por ejemplo, para resolver asintóticamente ecuaciones integrales de la forma:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

donde , puede ser o no de tipo exponencial, y el núcleo tiene una transformada de Mellin . La solución se puede obtener utilizando la suma de Nachbin como con el de y con la transformada de Mellin de . Un ejemplo de esto es la serie de Gram ${\textstyle g(s)=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}s^{-n}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle K(u)}$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle g(s)}$${\estilo de visualización M(n)}$${\displaystyle K(u)}$${\displaystyle \pi(x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

En algunos casos, como condición adicional, requerimos que sea finito y distinto de cero para${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$${\displaystyle n=0,1,2,3,....}$

Las colecciones de funciones de tipo exponencial pueden formar un espacio uniforme completo , es decir, un espacio de Fréchet , por la topología inducida por la familia contable de normas.${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

• Serie divergente
• Suma de Borel
• Suma de Euler
• Resumen de Cesáro
• Suma de Lambert
• Suma de Mittag-Leffler
• Principio de Phragmén-Lindelöf
• Teoremas abeliano y tauberio
• Transformación de Van Wijngaarden

• L. Nachbin, "Una extensión de la noción de funciones integrales del tipo exponencial finito", Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Segunda edición corregida) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Número de tarjeta de la Biblioteca del Congreso 63-23263. (Proporciona un enunciado y una prueba del teorema de Nachbin, así como una revisión general de este tema).
• AF Leont'ev (2001) [1994], "Función de tipo exponencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• AF Leont'ev (2001) [1994], "Transformada de Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press