Suma de Euler

En las matemáticas de series convergentes y divergentes , la suma de Euler es un método de suma. Es decir, es un método para asignar un valor a una serie, diferente del método convencional de tomar límites de sumas parciales. Dada una serie Σ a _n , si su transformada de Euler converge a una suma, entonces esa suma se llama suma de Euler de la serie original. Además de usarse para definir valores para series divergentes, la suma de Euler se puede usar para acelerar la convergencia de series.

La suma de Euler se puede generalizar en una familia de métodos denominados (E, q ), donde q ≥ 0. La suma (E, 1) es la suma de Euler ordinaria. Todos estos métodos son estrictamente más débiles que la suma de Borel ; para q > 0 son incomparables con la suma de Abel .

Para algún valor y podemos definir la suma de Euler (si converge para ese valor de y ) correspondiente a una suma formal particular como:

${\displaystyle _{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}a_{j}.}$

Si todas las sumas formales convergen, la suma de Euler será igual al lado izquierdo. Sin embargo, el uso de la suma de Euler puede acelerar la convergencia (esto es especialmente útil para series alternadas); a veces también puede dar un significado útil a las sumas divergentes.

Para justificar el enfoque, observe que, para la suma intercambiada, la suma de Euler se reduce a la serie inicial, porque

${\displaystyle y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{\binom {i}{j}}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}=1.}$

Este método en sí no se puede mejorar mediante una aplicación iterativa, ya que

${\displaystyle _{E_{y_{1}}}{}_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum .}$

• Si utilizamos y = 1 para la suma formal, obtenemos que P _k es un polinomio de grado k . Nótese que la suma interna sería cero para i > k , por lo que en este caso la suma de Euler reduce una serie infinita a una suma finita.$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)}$$$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}P_{k}(j),}$$
• La elección particular proporciona una representación explícita de los números de Bernoulli , ya que (la función zeta de Riemann ). De hecho, la suma formal en este caso diverge ya que k es positivo, pero al aplicar la suma de Euler a la función zeta (o más bien, a la función eta de Dirichlet relacionada ) se obtiene (cf. Serie globalmente convergente ) que es de forma cerrada .$${\displaystyle P_{k}(j):=(j+1)^{k}}$$$${\displaystyle {\frac {B_{k+1}}{k+1}}=-\zeta (-k)}$$$${\displaystyle {\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{k}}$$
• ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}}$

Con una elección apropiada de y (es decir, igual o cercana a − ⁠1/el) esta serie converge a1/1 − z⁠ .

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