Modelo probit multivariante

En estadística y econometría , el modelo probit multivariante es una generalización del modelo probit utilizado para estimar conjuntamente varios resultados binarios correlacionados. Por ejemplo, si se cree que las decisiones de enviar al menos un hijo a una escuela pública y la de votar a favor de un presupuesto escolar están correlacionadas (ambas decisiones son binarias), entonces el modelo probit multivariante sería apropiado para predecir conjuntamente estas dos elecciones de forma individual. JR Ashford y RR Sowden propusieron inicialmente un enfoque para el análisis probit multivariante. ^{[ 1 ]} Siddhartha Chib y Edward Greenberg extendieron esta idea y también propusieron métodos de inferencia basados ​​en simulación para el modelo probit multivariante, que simplificaron y generalizaron la estimación de parámetros. ^{[ 2 ]}

En el modelo probit ordinario, solo hay una variable dependiente binaria.${\displaystyle Y}$y por lo tanto, solo una variable latente${\displaystyle Y^{*}}$se utiliza. En cambio, en el modelo probit bivariado hay dos variables dependientes binarias.${\displaystyle Y_{1}}$y${\displaystyle Y_{2}}$, por lo tanto, hay dos variables latentes:${\displaystyle Y_{1}^{*}}$y${\displaystyle Y_{2}^{*}}$Se supone que cada variable observada toma el valor 1 si y solo si su variable latente continua subyacente toma un valor positivo:

${\displaystyle Y_{1}={\begin{cases}1&{\text{si }}Y_{1}^{*}>0,\\0&{\text{en otro caso}},\end{cases}}}$

${\displaystyle Y_{2}={\begin{cases}1&{\text{si }}Y_{2}^{*}>0,\\0&{\text{en otro caso}},\end{cases}}}$

con

${\displaystyle {\begin{cases}Y_{1}^{*}=X_{1}\beta _{1}+\varepsilon _{1}\\Y_{2}^{*}=X_{2}\beta _{2}+\varepsilon _{2}\end{cases}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\end{bmatrix}}\mid X\sim {\mathcal {N}}\left({\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&\rho \\\rho &1\end{bmatrix}}\right)}$

Ajustar el modelo probit bivariado implica estimar los valores de${\displaystyle \beta _{1},\ \beta _{2},}$y${\displaystyle \rho }$Para ello, se debe maximizar la probabilidad del modelo . Esta probabilidad es

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\beta _{1},\beta _{2})={\Big (}\prod &P(Y_{1}=1,Y_{2}=1\mid \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}Y_{2}}P(Y_{1}=0,Y_{2}=1\mid \beta _{1},\beta _{2})^{(1-Y_{1})Y_{2}}\\[8pt]&{}\qquad P(Y_{1}=1,Y_{2}=0\mid \beta _{1},\beta _{2})^{Y_{1}(1-Y_{2})}P(Y_{1}=0,Y_{2}=0\mid \beta _{1},\beta _{2})^{(1-Y_{1})(1-Y_{2})}{\Big )}\end{aligned}}}$

Sustituyendo las variables latentes${\displaystyle Y_{1}^{*}}$y${\displaystyle Y_{2}^{*}}$en las funciones de probabilidad y tomando logaritmos se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}>-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}>-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2})\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln P(\varepsilon _{1}<-X_{1}\beta _{1},\varepsilon _{2}<-X_{2}\beta _{2}){\Big )}.\end{aligned}}}$

Tras algunas modificaciones, la función de verosimilitud logarítmica queda de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum &{\Big (}Y_{1}Y_{2}\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})Y_{2}\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+Y_{1}(1-Y_{2})\ln \Phi (X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},-\rho )\\[4pt]&{}\quad {}+(1-Y_{1})(1-Y_{2})\ln \Phi (-X_{1}\beta _{1},-X_{2}\beta _{2},\rho ){\Big )}.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle \Phi }$es la función de distribución acumulativa de la distribución normal bivariada .${\displaystyle Y_{1}}$y${\displaystyle Y_{2}}$En la función de verosimilitud logarítmica, las variables observadas son iguales a uno o cero.

En el caso general,${\displaystyle \mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{j}),\ (i=1,...,N)}$donde podemos tomar${\displaystyle j}$como opciones y${\displaystyle i}$como individuos u observaciones, la probabilidad de observar elección${\displaystyle \mathbf {y_{i}} }$es

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int _{A_{J}}\cdots \int _{A_{1}}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )dy_{1}^{*}\dots dy_{J}^{*}\\\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=&\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}\end{aligned}}}$

Dónde${\displaystyle A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}}$y,

${\displaystyle A_{j}={\begin{cases}(-\infty ,0]&y_{j}=0\\(0,\infty )&y_{j}=1\end{cases}}}$

La función de verosimilitud logarítmica en este caso sería ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\log \Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )}$

Excepto${\displaystyle J\leq 2}$Por lo general, no existe una solución de forma cerrada para las integrales en la ecuación de log-verosimilitud. En su lugar, se pueden utilizar métodos de simulación para simular las probabilidades de elección. Los métodos que utilizan muestreo de importancia incluyen el algoritmo GHK , ^{[ 3 ]} AR (aceptar-rechazar), el método de Stern. También existen enfoques MCMC para este problema, incluidos CRB (método de Chib con Rao-Blackwellización ), CRT (Chib, Ritter, Tanner), ARK (núcleo de aceptación-rechazo) y ASK (núcleo de muestreo adaptativo). ^{[ 4 ]} Se propone un enfoque variacional escalable a grandes conjuntos de datos en Probit-LMM. ^{[ 5 ]}

El modelo Probit Multivariado se ha aplicado para analizar simultáneamente la elección del consumidor entre múltiples marcas. Se ha demostrado que el modelo Probit Multivariado amplía las posibilidades de investigación en el área de la demanda al flexibilizar el supuesto restrictivo de alternativas mutuamente excluyentes, que caracteriza a los métodos de elección discreta multinomiales. ^{[ 6 ]}

• Greene, William H. (2012). «Modelos probit bivariados y multivariados». Análisis econométrico (séptima  ed.). Prentice-Hall. págs. 778–799 . ISBN  978-0-13-139538-1.