Función de Multiscale Green

La función de Green multiescala (MSGF) es una versión generalizada y extendida de la técnica clásica de la función de Green (GF) ^{[ 1 ]} para resolver ecuaciones matemáticas. La principal aplicación de la técnica MSGF es el modelado de nanomateriales ^{[ 2 ]} . Estos materiales son muy pequeños, del tamaño de unos pocos nanómetros . El modelado matemático de nanomateriales requiere técnicas especiales y actualmente se reconoce como una rama independiente de la ciencia ^{[ 3 ]} . Se necesita un modelo matemático para calcular los desplazamientos de los átomos en un cristal en respuesta a una fuerza aplicada, ya sea estática o dependiente del tiempo, con el fin de estudiar las propiedades mecánicas y físicas de los nanomateriales. Un requisito específico de un modelo para nanomateriales es que debe ser multiescala y proporcionar una vinculación fluida de diferentes escalas de longitud ^{[ 4 ] .}

La función de Green (GF) fue formulada originalmente por el físico matemático británico George Green en 1828 como una técnica general para la solución de ecuaciones de operadores. ^{[ 1 ]} Se ha utilizado ampliamente en física matemática durante los últimos casi doscientos años y se ha aplicado a diversos campos. ^{[ 1 ] [ 5 ]} En Wikipedia se pueden encontrar revisiones de algunas aplicaciones de las GF, como la teoría de muchos cuerpos y la ecuación de Laplace . Las técnicas basadas en GF se utilizan para modelar diversos procesos físicos en materiales, como fonones , ^{[ 6 ]} la estructura de bandas electrónicas ^{[ 7 ]} y la elastostática . ^{[ 5 ]}

El método MSGF es una técnica GF relativamente nueva para el modelado matemático de nanomateriales. Los modelos matemáticos se utilizan para calcular la respuesta de los materiales a una fuerza aplicada con el fin de simular sus propiedades mecánicas. La técnica MSGF vincula diferentes escalas de longitud en el modelado de nanomateriales. ^{[ 2 ] [ 8 ]} Los nanomateriales tienen dimensiones atómicas y necesitan ser modelados a escalas de longitud de nanómetros. Por ejemplo, un nanocable de silicio , cuyo ancho es de aproximadamente cinco nanómetros, contiene solo 10 – 12 átomos a lo largo de su ancho. Otro ejemplo es el grafeno ^{[ 9 ]} y muchos nuevos sólidos bidimensionales (2D). ^{[ 10 ]} Estos nuevos materiales son extremadamente delgados porque tienen solo uno o dos átomos de espesor. El modelado multiescala es necesario para tales materiales porque sus propiedades están determinadas por la discreción de sus disposiciones atómicas, así como por sus dimensiones generales. ^{[ 2 ] [ 4 ]}

El método MSGF es multiescala, ya que relaciona la respuesta de los materiales a una fuerza aplicada a escala atómica con su respuesta a escala macroscópica. La respuesta de los materiales a escala macroscópica se calcula mediante el modelo continuo de sólidos. En este modelo, la estructura atómica discreta de los sólidos se promedia en un continuo. Las propiedades de los nanomateriales son sensibles tanto a su estructura atómica como a sus dimensiones generales. También son sensibles a la estructura macroscópica del material huésped en el que se encuentran integrados. El método MSGF se utiliza para modelar este tipo de sistemas compuestos.

El método MSGF también se utiliza para analizar el comportamiento de cristales que contienen defectos de red como vacantes, intersticiales o átomos extraños. El estudio de estos defectos de red es de interés ya que desempeñan un papel en la tecnología de materiales. ^{[ 11 ] [ 12 ]} La presencia de un defecto en una red desplaza los átomos anfitriones de su posición original o la red se distorsiona. Esto se muestra en la Fig. 1 para una red 1D como ejemplo. Se necesita un modelado a escala atómica para calcular esta distorsión cerca del defecto, ^{[ 13 ] [ 14 ]} mientras que el modelo continuo se utiliza para calcular la distorsión lejos del defecto. El MSGF vincula estas dos escalas sin problemas.

El modelo MSGF de nanomateriales considera multipartículas y multiescalas en los materiales. ^{[ 8 ]} Es una extensión del método de la función de Green de estática de red (LSGF) que se formuló originalmente en el Establecimiento de Investigación de Energía Atómica de Harwell en el Reino Unido en 1973. ^{[ 11 ] [ 15 ]} También se le conoce como el enfoque de Harwell o el método de Tewary en la literatura. ^{[ 16 ] [ 17 ]} El método LSGF complementa el método de dinámica molecular ^{[ 18 ]} (MD) para modelar sistemas de multipartículas. El método LSGF se basa en el uso del modelo de Born von Karman (BvK) ^{[ 6 ] [ 19 ]} y se puede aplicar a diferentes estructuras de red y defectos. ^{[ 11 ] [ 17 ] [ 20 ]} El método MSGF es una versión extendida del método LSGF y se ha aplicado a muchos nanomateriales y materiales 2D. ^{[ 2 ]}

A escala atómica, un cristal o un sólido cristalino se representa mediante un conjunto de átomos que interactúan y se ubican en sitios discretos de una red geométrica . ^{[ 19 ]} Un cristal perfecto consta de una red geométrica regular y periódica. La red perfecta tiene simetría de traslación, lo que significa que todas las celdas unitarias son idénticas. En una red periódica perfecta, que se supone infinita, todos los átomos son idénticos. En equilibrio, se supone que cada átomo se encuentra en su sitio de la red. La fuerza que ejercen otros átomos sobre cualquier átomo se anula, por lo que la fuerza neta sobre cada átomo es cero. Estas condiciones se rompen en una red distorsionada, en la que los átomos se desplazan de sus posiciones de equilibrio. ^{[ 15 ]} La distorsión de la red puede ser causada por una fuerza externa aplicada. La red también puede distorsionarse introduciendo un defecto en ella o desplazando un átomo que perturbe la configuración de equilibrio e induzca una fuerza sobre los sitios de la red. Esto se muestra en la Fig. 1. El objetivo del modelo matemático es calcular los valores resultantes de los desplazamientos atómicos.

El GF en el método MSGF se calcula minimizando la energía total de la red. ^{[ 15 ]} La energía potencial de la red en forma de una serie de Taylor infinita en desplazamientos atómicos en la aproximación armónica es la siguiente:

${\displaystyle W=-\sum _{L,a}f_{a}(L)u_{a}(L)+{\frac {1}{2}}\sum _{L,a}\sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{a}(L)u_{b}(L')\qquad \qquad (1)}$

donde L y L ′ etiquetan los átomos, a y b denotan las coordenadas cartesianas, u denota el desplazamiento atómico, y − f y K son el primer y segundo coeficiente en la serie de Taylor . Se definen en ^{[ 1 ].}

${\displaystyle f_{a}(L)=-{\frac {\partial W}{\partial u_{a}(L)}},\qquad \qquad (2)}$

y

${\displaystyle K_{ab}(L,L')={\frac {\partial ^{2}W}{\partial u_{a}(L)\,\partial u_{b}(L')}},\qquad \qquad (3)}$

donde las derivadas se evalúan en desplazamientos cero. El signo negativo se introduce en la definición de f por conveniencia. Así, f ( L ) es un vector 3D que denota la fuerza en el átomo L. Sus tres componentes cartesianas se denotan por f _a (L), donde a = x , y o z . De manera similar, K (L, L') es una matriz de 3x3, que se denomina matriz de constante de fuerza entre los átomos en L y L'.. Sus 9 elementos se denotan por K _ab ( L , L ′ ) para a , b = x , y , o z .

En equilibrio, la energía W es mínima. ^{[ 8 ]} Por consiguiente, la primera derivada de W con respecto a cada u debe ser cero. Esto da como resultado la siguiente relación a partir de la ecuación (1).

${\displaystyle \sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{b}(L')=f_{a}(L).\qquad \qquad (4)}$

Se puede demostrar mediante sustitución directa que la solución de la ecuación (4) se puede escribir como

${\displaystyle u_{a}(L)=\sum _{L',b}G_{ab}(L,L')f_{b}(L')\qquad \qquad (5)}$

donde G se define mediante la siguiente relación de inversión.

${\displaystyle \sum _{L'',b''}K_{ab''}(L,L'')G_{b''b}(L'',L')=\delta (a,b)\delta (L,L').\qquad \qquad (6)}$

En la ecuación (6), δ ( m , n ) es la función delta discreta de dos variables discretas m y n . De forma similar al caso de la función delta de Dirac para variables continuas, se define como 1 si m = n y 0 en caso contrario. ^{[ 6 ]}   

Las ecuaciones (4)–(6) se pueden escribir en notación matricial de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}Ku&=f&&(7)\\u&=Gf&&(8)\\{\text{and }}G&=K^{-1}&&(9)\end{aligned}}}$

Las matrices K y G en las ecuaciones anteriores son matrices cuadradas de 3N × 3N y u y  f  son vectores columna de 3N dimensiones, donde N es el número total de átomos en la red. La matriz G es la GF de múltiples partículas y se denomina función de Green de estática de red (LSGF). ^{[ 15 ]} Si se conoce G , los desplazamientos atómicos para todos los átomos se pueden calcular utilizando la ecuación (8).

Uno de los principales objetivos del modelado es el cálculo de los desplazamientos atómicos u causados ​​por una fuerza aplicada f. ^{[ 21 ]} Los desplazamientos, en principio, vienen dados por la ecuación (8). Sin embargo, esto implica la inversión de la matriz K , que es de 3N x 3N. Para cualquier cálculo de interés práctico, N ~ 10 000, pero preferiblemente un millón para simulaciones más realistas. La inversión de una matriz tan grande es computacionalmente costosa y se necesitan técnicas especiales para el cálculo de u. Para redes periódicas regulares, LSGF es una de estas técnicas. Consiste en calcular G en términos de su transformada de Fourier y es similar al cálculo de la GF de fonones. ^{[ 6 ]}

El método LSGF se ha generalizado para incluir los efectos multiescala en el método MSGF. ^{[ 8 ]} El método MSGF es capaz de vincular escalas de longitud sin problemas. Esta propiedad se ha utilizado en el desarrollo de un método MSGF híbrido que combina los métodos GF y MD y se ha utilizado para simular nanoinclusiones menos simétricas, como puntos cuánticos en semiconductores. ^{[ 22 ]}

Para una red perfecta sin defectos, el MSGF vincula directamente las escalas atómicas en LSGF con las escalas macroscópicas a través del modelo continuo. Una red perfecta tiene simetría de traslación completa, por lo que todos los átomos son equivalentes. En este caso, cualquier átomo puede elegirse como origen y G(L,L') puede expresarse mediante un único índice (L'-L) ^{[ 6 ]} definido como

${\displaystyle G(L,L')=G(0,L-L')=G(L'-L)\qquad \qquad (10)}$

El límite asintótico de G ( L ), que satisface la ecuación (10), para valores grandes de R ( L ) viene dado por ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \lim _{R(L)\to \infty }[G(0,L)]\rightarrow G_{c}(x)+O(1/x^{4})\qquad \qquad (11)}$

donde x = R ( L ) es el vector de posición del átomo L , y G _c ( x ) es la función de Green continua (CGF), que se define en términos de las constantes elásticas y se utiliza en el modelado de materiales masivos convencionales a macroescalas. ^{[ 5 ] [ 11 ]} En la ecuación (11), O(1/ x ⁿ ) es la notación matemática estándar para un término de orden 1/ x ⁿ y superior. La magnitud de G _c ( x ) es O(1/ x ² ). ^{[ 21 ]} La LSGF G (0, L ) en esta ecuación se reduce suave y automáticamente a la CGF para x suficientemente grande a medida que los términos O(1/ x ⁴ ) se vuelven gradualmente pequeños y despreciables. Esto asegura la vinculación perfecta de la escala de longitud atómica a la escala continua macroscópica. ^{[ 8 ]}

Las ecuaciones (8) y (9), junto con la relación límite dada por la ecuación (11), forman las ecuaciones básicas para la MSGF. ^{[ 8 ]} La ecuación (9) proporciona la LSGF, que es válida a escalas atómicas, y la ecuación (11) la relaciona con la CGF, que es válida a escalas macroscópicas continuas. Esta ecuación también muestra que la LSGF se reduce sin problemas a la CGF.

Si una red contiene defectos, su simetría de traslación se rompe. En consecuencia, no es posible expresar G en términos de una única variable de distancia R ( L ). Por lo tanto, la ecuación (10) ya no es válida y la correspondencia entre la LSGF y la CGF, necesaria para su vinculación sin fisuras, se rompe. ^{[ 15 ]} En tales casos, la MSGF vincula la red y las escalas del continuo mediante el siguiente procedimiento: ^{[ 15 ]}

Si p denota el cambio en la matriz K, causado por el/los defecto(s), la matriz de constantes de fuerza K* para la red defectuosa se escribe como

${\displaystyle K^{*}=K-p\qquad \qquad (12)}$

Como en el caso de la red perfecta en la Ec. (9), el GF de defecto correspondiente se define como la inversa de la matriz K* completa . El uso de la Ec. (12) conduce entonces a la siguiente ecuación de Dyson para el LSGF de defecto: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle G^{*}=G+GpG^{*}\qquad \qquad (13)}$

El método MSGF consiste en resolver la ecuación (13) para G* utilizando la técnica de partición de matrices o la transformada doble de Fourier. ^{[ 6 ]}

Una vez que se conoce G* , el vector de desplazamiento viene dado por la siguiente ecuación GF similar a la ecuación (8):

u = G* f (14)

La ecuación (14) proporciona la solución deseada, es decir, los desplazamientos atómicos o la distorsión de la red causada por la fuerza f . Sin embargo, no muestra la vinculación de las múltiples escalas de la red y del continuo, ya que las ecuaciones (10) y (11) no son válidas para el defecto LSGF G* . La vinculación entre el modelo de red y el modelo continuo en el caso de una red con defectos se logra mediante una transformación exacta que se describe a continuación. ^{[ 8 ]}

Utilizando la ecuación (13), la ecuación (14) se puede escribir en la siguiente forma exactamente equivalente:

u = Gf + G p G* f . (15)

El uso de la ecuación (14) nuevamente en el lado derecho de la ecuación (15) da como resultado:

u = G f* (16)

dónde

f* = f + pu . (17)

Nótese que la ecuación (17) define una fuerza efectiva f* tal que las ecuaciones (14) y (16) son exactamente equivalentes.

La ecuación (16) expresa los desplazamientos atómicos u en términos de G , la LSGF perfecta incluso para redes con defectos. El efecto de los defectos se incluye exactamente en f* . La LSGF G es independiente de f o f* y se reduce a la CGF de forma asintótica y suave como se muestra en la ecuación (11). La fuerza efectiva f* puede determinarse en un cálculo separado utilizando un método independiente si es necesario, y se puede utilizar la estática de la red o el modelo continuo para G. Esta es la base de un modelo híbrido que combina MSGF y MD para simular un punto cuántico de germanio en una red de silicio. ^{[ 22 ]}

La ecuación (16) es la ecuación maestra del método MSGF. ^{[ 2 ] [ 8 ]} Es verdaderamente multiescala. Todas las contribuciones atomísticas discretas están incluidas en f*. La función de Green G puede calcularse de forma independiente, pudiendo ser totalmente atomística para nanomateriales o parcial o totalmente continua para macroescalas, para tener en cuenta superficies e interfaces en sistemas de materiales según sea necesario. ^{[ 8 ]}

Tewary, Quardokus y DelRio ^{[ 23 ]} han sugerido que la función de Green no es solo un artefacto matemático, sino una característica física del sólido, que se puede medir utilizando microscopía de sonda de barrido .

Su sugerencia se basa en el hecho de que cualquier proceso de medición en un sistema requiere cuantificar la respuesta del sistema a una sonda externa, y la función de Green proporciona la respuesta total del sistema a una sonda aplicada. ^{[ 24 ]} Por ejemplo, si queremos medir las características de un resorte, lo fijamos en un extremo y aplicamos una fuerza f o f* en el otro. Una medición del estiramiento u del resorte dará entonces el valor de la función de Green del resorte utilizando la ecuación 14 o 16. En este ejemplo, la fuerza aplicada es la sonda y el estiramiento del resorte es su respuesta a la sonda. Si se dispone de los valores medidos de las funciones de Green de un sólido, se caracterizará con precisión la respuesta de un sólido para aplicaciones de ingeniería. Por esta razón, la función de Green también se denomina función de respuesta.

Una aplicación importante del método MSGF es el modelado de procesos temporales (dependientes del tiempo) en sólidos, especialmente en nanomateriales. Esto es necesario en diversas aplicaciones como pruebas y caracterización de materiales, propagación de ondas y calor en nanomateriales y modelado de daños por radiación en semiconductores. ^{[ 2 ] [ 18 ]} Estos procesos deben simularse en un amplio rango de tiempos desde femtosegundos hasta nanosegundos o incluso microsegundos , lo que es un problema multiescala desafiante para nanomateriales. Tewary ^{[ 25 ]} demostró que el uso de las funciones de Green causales en dinámica molecular puede acelerar significativamente la convergencia temporal de la dinámica molecular. El nuevo método, llamado CGFMD (Dinámica Molecular de Función de Green Causal) es el equivalente temporal del MSGF y se basa en el uso de funciones de Green causales o retardadas . Se ha aplicado ^{[ 25 ]} para simular la propagación de ondulaciones en grafeno, ^{[ 9 ]} donde se ha demostrado que el CGFMD puede modelar escalas de tiempo de 6 a 9 órdenes de magnitud a nivel atómico. Al menos en algunos casos idealizados, como la propagación de ondulaciones en grafeno, el CGFMD puede abarcar escalas de tiempo desde femtosegundos hasta microsegundos. El CGFMD ha sido refinado y desarrollado aún más en artículos de Coluci, Dantas y Tewary . ^{[ 26 ] [ 27 ]}

• Modelos a microescala y macroescala