Teorema multinomial

La tercera potencia del trinomio a + b + c viene dada por $${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$$ Esto se puede calcular a mano utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y combinando términos semejantes , pero también se puede hacer (quizás más fácilmente) con el teorema multinomial. Es posible "leer" los coeficientes multinomiales de los términos utilizando la fórmula del coeficiente multinomial. Por ejemplo, el término${\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}}$tiene coeficiente${\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3}$, el término${\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}}$tiene coeficiente${\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6}$, etcétera.

El enunciado del teorema se puede escribir de forma concisa utilizando múltiples índices : $${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}$$ dónde $${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}$$ y $${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}.}$$

Esta demostración del teorema multinomial utiliza el teorema binomio y la inducción sobre m .

Primero, para m = 1 , ambos lados son iguales a x ₁ ⁿ ya que solo hay un término k ₁ = n en la suma. Para el paso de inducción, supongamos que el teorema multinomial se cumple para m . Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}}$

por la hipótesis de inducción. Aplicando el teorema del binomio al último factor,

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}$

lo cual completa la inducción. El último paso sigue porque

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}$

como se puede ver fácilmente escribiendo los tres coeficientes usando factoriales de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}$

La sustitución de x _i = 1 para todo i en el teorema multinomial

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}}$

da inmediatamente eso

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.}$

El número de términos en una suma multinomial, # _{n , m} , es igual al número de monomios de grado n en las variables x ₁ , …, x _m :

${\displaystyle \#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.}$

El recuento se puede realizar fácilmente utilizando el método de estrellas y barras .

La mayor potencia de un número primo p que divide un coeficiente multinomial se puede calcular utilizando una generalización del teorema de Kummer .

Mediante la aproximación de Stirling , o equivalentemente la expansión asintótica de la función log-gamma ,$${\displaystyle \log {\binom {kn}{n,n,\cdots ,n}}=kn\log(k)+{\frac {1}{2}}\left(\log(k)-(k-1)\log(2\pi n)\right)-{\frac {k^{2}-1}{12kn}}+{\frac {k^{4}-1}{360k^{3}n^{3}}}-{\frac {k^{6}-1}{1260k^{5}n^{5}}}+O\left({\frac {1}{n^{6}}}\right)}$$Por ejemplo,$${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}$$

Los coeficientes multinomiales tienen una interpretación combinatoria directa, como el número de maneras de depositar n objetos distintos en m contenedores distintos, con k ₁ objetos en el primer contenedor, k ₂ objetos en el segundo contenedor, y así sucesivamente. ^{[ 3 ]}

En mecánica estadística y combinatoria , si se dispone de una distribución numérica de etiquetas, los coeficientes multinomiales surgen naturalmente de los coeficientes binomiales. Dada una distribución numérica { n _i } sobre un conjunto de N elementos, n _i representa el número de elementos a los que se les asigna la etiqueta i . (En mecánica estadística , i es la etiqueta del estado energético).

El número de arreglos se encuentra mediante

• Elegir n ₁ del total de N para etiquetarlo como 1. Esto se puede hacer${\displaystyle {\tbinom {N}{n_{1}}}}$maneras.
• De los N − n ₁ elementos restantes, elija n ₂ para etiquetar 2. Esto se puede hacer${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}}{n_{2}}}}$maneras.
• De los N − n ₁ − n ₂ elementos restantes, elija n ₃ para etiquetar 3. Nuevamente, esto se puede hacer${\displaystyle {\tbinom {N-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}}$maneras.

Multiplicar el número de opciones en cada paso da como resultado:

${\displaystyle {N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .}$

La cancelación da como resultado la fórmula indicada anteriormente.

El coeficiente multinomial

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}}$

También es el número de formas distintas de permutar un multiconjunto de n elementos, donde k _i es la multiplicidad de cada uno del i- ésimo elemento. Por ejemplo, el número de permutaciones distintas de las letras de la palabra MISSISSIPPI, que tiene 1 M, 4 I, 4 S y 2 P, es

${\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}$

Se puede utilizar el teorema multinomial para generalizar el triángulo de Pascal o la pirámide de Pascal al simplex de Pascal . Esto proporciona una forma rápida de generar una tabla de consulta para coeficientes multinomiales.

Una estructura relacionada es el triángulo multinomial, o triángulo de Pascal generalizado de orden m, que puede construirse utilizando la relación de recurrencia : $${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{i=0}^{m-1}{\binom {n-1}{k-i}}_{m-1}}$$ de la cual se recupera la regla de Pascal cuando${\displaystyle m=2}$Estos coeficientes multinomiales pueden escribirse como expresiones de forma cerrada con composiciones enteras acotadas:

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{\begin{array}{c}k_{0}+k_{1}+\cdots +k_{m-1}=n\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +(m-1)k_{m-1}=k\end{array}}{n \choose k_{0},k_{1},\ldots ,k_{m-1}}}$$ y sin: ^{[ 4 ]} (secuencia A008287 en el OEIS )

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{m-1}=\sum _{i=0}^{\lfloor k/m\rfloor }(-1)^{i}{\binom {n}{i}}{\binom {n-1+k-im}{n-1}}}$$