Cuadrado multimágico

En matemáticas , un cuadrado P -multimágico ( también conocido como cuadrado satánico ) es un cuadrado mágico que sigue siendo mágico incluso si todos sus números se reemplazan por sus potencias k para 1 ≤ k ≤ P. Los cuadrados 2-multimágicos se llaman bimágicos , los cuadrados 3-multimágicos se llaman trimágicos , los cuadrados 4-multimágicos tetramágicos y los cuadrados 5-multimágicos pentamagicos .

Si los cuadrados son normales , la constante para los cuadrados de potencia se puede determinar de la siguiente manera:

Los totales de la serie bimágica para los cuadrados bimágicos también están vinculados a la secuencia numérica piramidal cuadrada de la siguiente manera  : Cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (secuencia A000290 en el OEIS ) Suma de cuadrados 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, ... (secuencia A000330 en el OEIS ) (número de unidades en una pirámide de base cuadrada) La serie bimágica es la 1.ª, 4.ª, 9.ª en esta serie (dividida por 1, 2, 3, n ), etc., por lo que los valores para las filas y columnas en orden 1, orden 2, orden 3 Los cuadrados bimágicos serían 1, 15, 95, 374, 1105, 2701, 5775, 11180, ... (secuencia A052459 en el OEIS )

La serie trimágica estaría relacionada de la misma manera con la secuencia hiperpiramidal de cubos anidados. Cubos 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... (secuencia A000578 en la OEIS ) Suma de cubos 0, 1, 9, 36, 100, ... (secuencia A000537 en la OEIS ) Valor para cuadrados trimágicos 1, 50, 675, 4624, ... (secuencia A052460 en la OEIS )

De manera similar, la secuencia tetramágica 4-Potencia 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, ... (secuencia A000583 en el OEIS ) Suma de 4-Potencia 0, 1, 17, 98, 354, 979, 2275, ... (secuencia A000538 en el OEIS ) Sumas para cuadrados tetramágicos 0, 1, 177, ... (secuencia A052461 en el OEIS )

Un cuadrado bimágico es un cuadrado mágico que sigue siendo mágico cuando todos sus números son reemplazados por sus cuadrados .

El primer cuadrado bimágico conocido tiene orden 8 y constante mágica 260 y una constante bimágica de 11180.

Bensen y Jacoby conjeturaron que no existen cuadrados bimágicos no triviales de orden menor que 8. Esto fue demostrado para cuadrados mágicos que contienen los elementos del 1 al ^n² por Boyer y Trump.

Sin embargo, JR Hendricks pudo demostrar en 1998 que no existe ningún cuadrado bimágico de orden 3, salvo el cuadrado bimágico trivial que contiene el mismo número nueve veces. La demostración es bastante simple: sea el siguiente nuestro cuadrado bimágico.

Es bien sabido que una propiedad de los cuadrados mágicos es que${\displaystyle a+i=2e}$. Similarmente,${\displaystyle a^{2}+i^{2}=2e^{2}}$. Por lo tanto, ${\displaystyle (ai)^{2}=2(a^{2}+i^{2})-(a+i)^{2}=4e^{2}-4e^{2}=0}$De ello se deduce que${\displaystyle a=e=i}$Lo mismo se aplica a todas las líneas que pasan por el centro.

Para cuadrados de 4 × 4, Luke Pebody pudo demostrar mediante métodos similares que los únicos cuadrados bimágicos de 4 × 4 (salvo simetría) son de la forma

o

Un cuadrado bimágico de 8 × 8.

Actualmente (2010) se conocen cuadrados bimágicos no triviales para cualquier orden desde ocho hasta 64. Li Wen, de China, creó los primeros cuadrados bimágicos conocidos de órdenes 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 58, 59, 61 y 62, completando así los huecos de los últimos órdenes desconocidos.

En 2006, Jaroslaw Wroblewski construyó un cuadrado bimágico no normal de orden 6. No normal significa que utiliza enteros no consecutivos .

También en 2006, Lee Morgenstern construyó varios cuadrados bimágicos no normales de orden 7.

Un cuadrado trimágico es un cuadrado mágico que sigue siendo mágico cuando todos sus números son reemplazados por sus cubos .

Hasta el momento se han descubierto cuadrados trimágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; el único cuadrado trimágico conocido de orden 12, que se muestra a continuación, fue hallado en junio de 2002 por el matemático alemán Walter Trump .

El primer cuadrado mágico de orden 4 fue construido por Charles Devimeux en 1983 y era un cuadrado de orden 256.

Un cuadrado mágico de orden 512 fue construido en mayo de 2001 por André Viricel y Christian Boyer . ^{[ 1 ]}

El primer cuadrado mágico de 5 elementos, de orden 1024, apareció aproximadamente un mes después, en junio de 2001, también creado por Viricel y Boyer. En enero de 2003, presentaron un cuadrado mágico de 4 elementos, de menor tamaño y orden 256. En junio de 2003, Li Wen construyó otro cuadrado mágico de 5 elementos, de orden 729.

• Cuadrado diabólico
• Cubo mágico
• cuadrado mágico
• Cubo multimágico

• Weisstein, Eric W. "Cuadrado bimágico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cuadrado trimágico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cuadrado tetramágico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cuadrado pentamagico" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cuadrado multimágico" . MathWorld .

• multimagia.com
• puzzled.nl