Moving average

In statistics, a moving average (rolling average or running average or moving mean^[1] or rolling mean) is a calculation to analyze data points by creating a series of averages of different selections of the full data set. Variations include: simple, cumulative, or weighted forms.

Mathematically, a moving average is a type of convolution. Thus in signal processing it is viewed as a low-passfinite impulse response filter. Because the boxcar function outlines its filter coefficients, it is called a boxcar filter. It is sometimes followed by downsampling.

Given a series of numbers and a fixed subset size, the first element of the moving average is obtained by taking the average of the initial fixed subset of the number series. Then the subset is modified by "shifting forward"; that is, excluding the first number of the series and including the next value in the series.

A moving average is commonly used with time series data to smooth out short-term fluctuations and highlight longer-term trends or cycles - in this case the calculation is sometimes called a time average. The threshold between short-term and long-term depends on the application, and the parameters of the moving average will be set accordingly. It is also used in economics to examine gross domestic product, employment or other macroeconomic time series. When used with non-time series data, a moving average filters higher frequency components without any specific connection to time, although typically some kind of ordering is implied. Viewed simplistically it can be regarded as smoothing the data.

The technique of moving averages was invented by the Bank of England in 1833 to conceal the state of its bullion reserves.^[2]

In financial applications a simple moving average (SMA) is the unweighted mean of the previous ${\displaystyle k}$ data-points. However, in science and engineering, the mean is normally taken from an equal number of data on either side of a central value. This ensures that variations in the mean are aligned with the variations in the data rather than being shifted in time. An example of a simple equally weighted running mean is the mean over the last ${\displaystyle k}$ entries of a data-set containing ${\displaystyle n}$ entries. Let those data-points be ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$Esto podría ser el precio de cierre de una acción. La media de los últimos${\displaystyle k}$Los puntos de datos (días en este ejemplo) se denotan como${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k}}$y calculado como: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}}$$

Al calcular la siguiente media${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{siguiente}}}}$con el mismo ancho de muestreo${\displaystyle k}$el rango de${\displaystyle n-k+2}$a${\displaystyle n+1}$Se considera. Un nuevo valor${\displaystyle p_{n+1}}$entra en la suma y el valor más antiguo${\displaystyle p_{n-k+1}}$se elimina. Esto simplifica los cálculos al reutilizar la media anterior.${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{anterior}}}}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}\\&={\frac {1}{k}}{\Big (}\underbrace {p_{n-k+2}+p_{n-k+3}+\dots +p_{n}+p_{n+1}} _{\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}}+\underbrace {p_{n-k+1}-p_{n-k+1}} _{=0}{\Big )}\\&=\underbrace {{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\dots +p_{n}{\Big )}} _{={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}-{\frac {p_{n-k+1}}{k}}+{\frac {p_{n+1}}{k}}\\&={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}+{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n+1}-p_{n-k+1}{\Big )}\end{aligned}}}$$ Esto significa que el filtro de media móvil se puede calcular de forma bastante económica con datos en tiempo real, utilizando un búfer circular /FIFO y solo 3 pasos aritméticos.

Durante el llenado inicial del búfer FIFO/circular, la ventana de muestreo es igual al tamaño del conjunto de datos, por lo tanto${\displaystyle k=n}$y el cálculo del promedio se realiza como un promedio móvil acumulativo .

El período seleccionado (${\displaystyle k}$) depende del tipo de movimiento de interés, como a corto, mediano o largo plazo.

Si los datos utilizados no están centrados en la media, una media móvil simple se retrasa con respecto al dato más reciente en la mitad del ancho de la muestra. Una SMA también puede verse desproporcionadamente influenciada por la pérdida de datos antiguos o la incorporación de datos nuevos. Una característica de la SMA es que, si los datos presentan una fluctuación periódica, la aplicación de una SMA de ese período eliminará dicha variación (la media siempre contiene un ciclo completo). Sin embargo, rara vez se encuentra un ciclo perfectamente regular. ^{[ 3 ]}

Para diversas aplicaciones, resulta ventajoso evitar el desplazamiento producido al utilizar únicamente datos "pasados". Por lo tanto, se puede calcular una media móvil central , utilizando datos igualmente espaciados a ambos lados del punto de la serie donde se calcula la media. ^{[ 4 ]} Esto requiere utilizar un número impar de puntos en la ventana de muestreo.

Una desventaja importante del SMA es que deja pasar una cantidad significativa de señal con una longitud menor que la de la ventana. Esto puede generar artefactos inesperados, como picos en el resultado suavizado que aparecen donde había valles en los datos. Además, el resultado es menos suave de lo esperado, ya que algunas de las frecuencias más altas no se eliminan correctamente.

Su respuesta en frecuencia es un tipo de filtro de paso bajo llamado sinc en frecuencia .

La media móvil continua de una función integrable${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$se define mediante integración como:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}M_{f,\varepsilon }:\mathbb {R} &\rightarrow \mathbb {R} \\x&\mapsto \displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt\end{array}}}$

donde el${\displaystyle \varepsilon }$ambiente${\displaystyle [x-\varepsilon,x+\varepsilon]}$alrededor${\displaystyle x}$define la intensidad del suavizado de la gráfica de la función integrable. Un valor mayor${\displaystyle \varepsilon >0}$Suaviza la gráfica de origen de la función (azul).${\displaystyle f}$más. Las animaciones a continuación muestran el promedio móvil como una animación en función de diferentes valores para  ${\displaystyle \varepsilon >0}$. La fracción${\displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}}$se utiliza porque${\displaystyle 2\,\varepsilon }$es el ancho del intervalo para la integral. Naturalmente,${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}M_{f,\ \varepsilon }=f}$por el teorema fundamental del cálculo y la regla de L'Hôpital .

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  Media móvil continua de seno y polinomio: visualización del suavizado con un pequeño intervalo para la integración.
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  Media móvil continua de seno y polinomio: visualización del suavizado con un intervalo mayor para la integración.
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  Animación que muestra el impacto del ancho del intervalo y el suavizado mediante media móvil.

En un promedio acumulativo ( CA ), los datos llegan en un flujo de datos ordenado, y el usuario desea obtener el promedio de todos los datos hasta el dato actual. Por ejemplo, un inversor podría querer el precio promedio de todas las transacciones de acciones de una acción en particular hasta el momento actual. A medida que se produce cada nueva transacción, el precio promedio en el momento de la transacción se puede calcular para todas las transacciones hasta ese punto utilizando el promedio acumulativo, que generalmente es un promedio ponderado por igual de la secuencia de n valores.${\displaystyle x_{1}.\ldots ,x_{n}}$hasta el momento actual: $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.}$$

El método de fuerza bruta para calcular esto sería almacenar todos los datos y calcular la suma y dividirla por el número de puntos cada vez que llegara un nuevo dato. Sin embargo, es posible simplemente actualizar el promedio acumulado como un nuevo valor,${\displaystyle x_{n+1}}$se vuelve disponible, utilizando la fórmula $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}={{x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}.}$$

Así, el promedio acumulado actual para un nuevo dato es igual al promedio acumulado anterior, multiplicado por n , más el último dato, todo dividido por el número de puntos recibidos hasta el momento, n + 1. Cuando llegan todos los datos ( n = N ), el promedio acumulado será igual al promedio final. También es posible almacenar un total acumulado de los datos, así como el número de puntos, y dividir el total por el número de puntos para obtener el promedio acumulado cada vez que llega un nuevo dato.

La derivación de la fórmula del promedio acumulativo es sencilla. Utilizando $${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$ y de manera similar para n + 1 , se observa que $${\displaystyle x_{n+1}=(x_{1}+\cdots +x_{n+1})-(x_{1}+\cdots +x_{n})}$$$${\displaystyle x_{n+1}=(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n+1}-n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$

Resolviendo esta ecuación para${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}}$resultados en $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {CA}}_{n+1}&={x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={x_{n+1}+(n+1-1)\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n}+x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={{\textit {CA}}_{n}}+{{x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}\end{aligned}}}$$

Un promedio ponderado es un promedio que tiene factores multiplicadores para dar diferentes ponderaciones a los datos en diferentes posiciones de la ventana de muestreo. Matemáticamente, el promedio móvil ponderado es la convolución de los datos con una función de ponderación fija. Una aplicación es la eliminación de la pixelación de una imagen gráfica digital. Esto también se conoce como suavizado de bordes (anti-aliasing).

En el ámbito financiero, y más específicamente en el análisis de datos financieros, una media móvil ponderada (WMA) tiene el significado específico de ponderaciones que disminuyen en progresión aritmética. ^{[ 5 ]} En una WMA de n días, el último día tiene una ponderación n , el segundo más reciente.${\displaystyle n-1}$, etc., hasta llegar a uno.

$${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{((M-n)+2)}+p_{((M-n)+1)} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}}$$

The denominator is a triangle number equal to ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}.}$ In the more general case the denominator will always be the sum of the individual weights.

When calculating the WMA across successive values, the difference between the numerators of ${\displaystyle {\text{WMA}}_{M+1}}$ and ${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}}$ is ${\displaystyle np_{M+1}-p_{M}-\dots -p_{M-n+1}}$. If we denote the sum ${\displaystyle p_{M}+\dots +p_{M-n+1}}$ by ${\displaystyle {\text{Total}}_{M}}$, then

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total}}_{M+1}&={\text{Total}}_{M}+p_{M+1}-p_{M-n+1}\\[3pt]{\text{Numerator}}_{M+1}&={\text{Numerator}}_{M}+np_{M+1}-{\text{Total}}_{M}\\[3pt]{\text{WMA}}_{M+1}&={{\text{Numerator}}_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}\end{aligned}}}$$

The graph at the right shows how the weights decrease, from highest weight for the most recent data, down to zero. It can be compared to the weights in the exponential moving average which follows.

An exponential moving average (EMA), also known as an exponentially weighted moving average (EWMA),^[6] is a first-order infinite impulse response filter that applies weighting factors which decrease exponentially. The weighting for each older datum decreases exponentially, never reaching zero. This formulation is according to Hunter (1986).^[7]

There is also a multivariate implementation of EWMA, known as MEWMA.^[8]

Other weighting systems are used occasionally – for example, in share trading a volume weighting will weight each time period in proportion to its trading volume.

A further weighting, used by actuaries, is Spencer's 15-Point Moving Average^[9] (a central moving average). Its symmetric weight coefficients are [−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3], which factors as ⁠[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3]/320⁠ and leaves samples of any quadratic or cubic polynomial unchanged.^[10][11]

Outside the world of finance, weighted running means have many forms and applications. Each weighting function or "kernel" has its own characteristics. In engineering and science the frequency and phase response of the filter is often of primary importance in understanding the desired and undesired distortions that a particular filter will apply to the data.

A mean does not just "smooth" the data. A mean is a form of low-pass filter. The effects of the particular filter used should be understood in order to make an appropriate choice.

From a statistical point of view, the moving average, when used to estimate the underlying trend in a time series, is susceptible to rare events such as rapid shocks or other anomalies. A more robust estimate of the trend is the simple moving median over n time points: $${\displaystyle {\widetilde {p}}_{\text{SM}}={\text{Median}}(p_{M},p_{M-1},\ldots ,p_{M-n+1})}$$ donde la mediana se encuentra, por ejemplo, ordenando los valores dentro de los paréntesis y encontrando el valor central. Para valores mayores de n , la mediana se puede calcular de manera eficiente actualizando una lista de saltos indexable . ^{[ 12 ]}

Estadísticamente, la media móvil es óptima para recuperar la tendencia subyacente de la serie temporal cuando las fluctuaciones alrededor de la tendencia se distribuyen normalmente . Sin embargo, la distribución normal no otorga alta probabilidad a desviaciones muy grandes de la tendencia, lo que explica por qué tales desviaciones tendrán un efecto desproporcionadamente grande en la estimación de la tendencia. Se puede demostrar que si en cambio se supone que las fluctuaciones se distribuyen según Laplace , entonces la mediana móvil es estadísticamente óptima. ^{[ 13 ]} Para una varianza dada, la distribución de Laplace otorga mayor probabilidad a eventos raros que la distribución normal, lo que explica por qué la mediana móvil tolera mejor las perturbaciones que la media móvil.

Cuando la mediana móvil simple anterior es central, el suavizado es idéntico al filtro de mediana , que tiene aplicaciones, por ejemplo, en el procesamiento de señales de imagen. La mediana móvil es una alternativa más robusta a la media móvil a la hora de estimar la tendencia subyacente en una serie temporal. Si bien la media móvil es óptima para recuperar la tendencia si las fluctuaciones a su alrededor siguen una distribución normal, es susceptible al impacto de eventos raros como choques rápidos o anomalías. En cambio, la mediana móvil, que se obtiene ordenando los valores dentro de la ventana temporal y encontrando el valor central, es más resistente al impacto de dichos eventos raros. Esto se debe a que, para una varianza dada, la distribución de Laplace, que asume la mediana móvil, otorga mayor probabilidad a los eventos raros que la distribución normal que asume la media móvil. Como resultado, la mediana móvil proporciona una estimación más fiable y estable de la tendencia subyacente, incluso cuando la serie temporal se ve afectada por grandes desviaciones de la tendencia. Además, el suavizado de la mediana móvil es idéntico al filtro de mediana, que tiene diversas aplicaciones en el procesamiento de señales de imagen.

En un modelo de regresión de media móvil , se supone que una variable de interés es una media móvil ponderada de términos de error independientes no observados; las ponderaciones en la media móvil son parámetros que deben estimarse.

Estos dos conceptos suelen confundirse debido a su nombre, pero si bien comparten muchas similitudes, representan métodos distintos y se utilizan en contextos muy diferentes.

• Suavizado exponencial
• Regresión local (LOESS y LOWESS)
• Suavizado del núcleo
• Indicador de convergencia/divergencia de media móvil
• Martingala (teoría de la probabilidad)
• Cruce de medias móviles
• mínimos cuadrados móviles
• Media móvil ascendente
• Hash rodante
• total acumulado
• Filtro Savitzky-Golay
• Función de ventana
• media móvil exponencial de retardo cero