Función zeta motivacional

En geometría algebraica , la función zeta motivacional de una variedad algebraica suave${\displaystyle X}$es la serie de potencias formal : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }[X^{(n)}]t^{n}}$

Aquí${\displaystyle X^{(n)}}$es el${\displaystyle n}$-ésima potencia simétrica de${\displaystyle X}$, es decir, el cociente de${\displaystyle X^{n}}$por la acción del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$, y${\displaystyle [X^{(n)}]}$es la clase de${\displaystyle X^{(n)}}$en el círculo de motivos (véase más abajo).

Si el campo terrestre es finito y se aplica la medida de conteo a${\displaystyle Z(X,t)}$, se obtiene la función zeta local de${\displaystyle X}$.

Si el campo base son los números complejos, y se aplica la característica de Euler con soportes compactos a${\displaystyle Z(X,t)}$, uno obtiene${\displaystyle 1/(1-t)^{\chi (X)}}$.

Una medida motivacional es un mapa${\displaystyle \mu }$del conjunto de esquemas de tipo finito sobre un campo${\displaystyle k}$a un anillo conmutativo${\displaystyle A}$, satisfaciendo las tres propiedades

${\displaystyle \mu (X)\,}$depende únicamente de la clase de isomorfismo de${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \mu (X)=\mu (Z)+\mu (X\setminus Z)}$si${\displaystyle Z}$es un subesquema cerrado de${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \mu (X_{1}\times X_{2})=\mu (X_{1})\mu (X_{2})}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle k}$es un campo finito y${\displaystyle A={\mathbb {Z} }}$es el anillo de los enteros, entonces${\displaystyle \mu (X)=\#(X(k))}$define una medida motivacional, la medida de conteo .

Si el campo base son los números complejos, entonces la característica de Euler con soportes compactos define una medida motivacional con valores en los números enteros.

La función zeta con respecto a una medida motivacional${\displaystyle \mu }$es la serie de potencias formal en${\displaystyle A[[t]]}$dado por

${\displaystyle Z_{\mu }(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (X^{(n)})t^{n}}$.

Existe una medida motivacional universal . Toma valores en el anillo K de variedades,${\displaystyle A=K(V)}$, que es el anillo generado por los símbolos${\displaystyle [X]}$, para todas las variedades${\displaystyle X}$, sujeto a las relaciones

${\displaystyle [X']=[X]\,}$si${\displaystyle X'}$y${\displaystyle X}$son isomorfos,

${\displaystyle [X]=[Z]+[X\setminus Z]}$si${\displaystyle Z}$es una subvariedad cerrada de${\displaystyle X}$,

${\displaystyle [X_{1}\times X_{2}]=[X_{1}]\cdot [X_{2}]}$.

La medida motivacional universal da lugar a la función zeta motivacional.

Dejar${\displaystyle \mathbb {L} =[{\mathbb {A} }^{1}]}$denota la clase de la línea afín .

${\displaystyle Z({\mathbb {A} },t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }t}}}$

${\displaystyle Z({\mathbb {A} }^{n},t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{n}t}}}$

${\displaystyle Z({\mathbb {P} }^{n},t)=\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{i}t}}}$

Si${\displaystyle X}$es una curva irreducible proyectiva suave de género${\displaystyle g}$admitiendo un fibrado lineal de grado 1, y la medida motivacional toma valores en un campo en el que${\displaystyle {\mathbb {L} }}$es invertible, entonces

${\displaystyle Z(X,t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-{\mathbb {L} }t)}}\,,}$

dónde${\displaystyle P(t)}$es un polinomio de grado${\displaystyle 2g}$Por lo tanto, en este caso, la función zeta motivacional es racional . En dimensiones superiores, la función zeta motivacional no siempre es racional.

Si${\displaystyle S}$es una superficie lisa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica${\displaystyle 0}$, entonces la función generadora para los motivos de los esquemas de Hilbert de${\displaystyle S}$puede expresarse en términos de la función zeta motivacional mediante la fórmula de Göttsche.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[S^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }Z(S,{\mathbb {L} }^{m-1}t^{m})}$

Aquí${\displaystyle S^{[n]}}$es el esquema de Hilbert de longitud${\displaystyle n}$subesquemas de${\displaystyle S}$Para el plano afín, esta fórmula da

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[({\mathbb {A} }^{2})^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{m+1}t^{m}}}}$

Esta es esencialmente la función de partición .