functor monoide

En teoría de categorías , los functores monoidales son functores entre categorías monoidales que preservan la estructura monoidal. Más específicamente, un functor monoidal entre dos categorías monoidales consta de un functor entre las categorías, junto con dos mapas de coherencia : una transformación natural y un morfismo que preservan la multiplicación monoidal y la unidad, respectivamente. Los matemáticos requieren que estos mapas de coherencia satisfagan propiedades adicionales según el grado de rigor con que deseen preservar la estructura monoidal; cada una de estas propiedades da lugar a una definición ligeramente diferente de functor monoidal.

• Los mapas de coherencia de los functores monoidales laxos no satisfacen propiedades adicionales; no son necesariamente invertibles.
• Los mapas de coherencia de los functores monoidales fuertes son invertibles.
• Los mapas de coherencia de los functores monoidales estrictos son mapas identidad.

Aunque aquí distinguimos entre estas diferentes definiciones, los autores pueden llamar a cualquiera de ellas simplemente functores monoidales .

Dejar${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$y${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet,I_{\mathcal {D}})}$sean categorías monoidales. Un functor monoidal laxo de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle {\mathcal {D}}}$(que también puede llamarse simplemente functor monoidal) consiste en un functor${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$junto con una transformación natural

${\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}$

entre functores${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$y un morfismo

${\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}$,

llamados mapas de coherencia o morfismos de estructura , que son tales que para cada tres objetos${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$los diagramas

,

  y  

desplazamiento en la categoría${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Arriba, las diversas transformaciones naturales denotadas usando${\displaystyle \alpha ,\rho ,\lambda }$son partes de la estructura monoide en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. ^{[ 1 ]}

• El functor subyacente${\displaystyle U\dos puntos (\mathbf {Ab} ,\otimes _ {\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})}$de la categoría de grupos abelianos a la categoría de conjuntos . En este caso, el mapa${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$envía (a, b) a${\displaystyle a\otimes b}$; el mapa${\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }$envía${\displaystyle \ast }$a 1.
• Si${\displaystyle R}$es un anillo (conmutativo), entonces el functor libre${\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}$se extiende a un functor fuertemente monoidal${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$(y también${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$si${\displaystyle R}$es conmutativa).
• Si${\displaystyle R\to S}$es un homomorfismo de anillos conmutativos, entonces el functor de restricción${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$es monoide y el functor de inducción${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$es fuertemente monoide.
• Un ejemplo importante de un functor monoidal simétrico es el modelo matemático de la teoría cuántica de campos topológica . Sea${\displaystyle \mathbf {Bord} _ {\langle n-1,n\rangle }}$Sea la categoría de cobordismos de variedades n-1,n- dimensionales con producto tensorial dado por la unión disjunta, y unidad la variedad vacía. Una teoría cuántica de campos topológica en dimensión n es un funtor monoidal simétrico.${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _ {k},k).}$
• El functor de homología es monoidal como${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$a través del mapa${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$.

Si${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$y${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$son categorías monoidales cerradas con functores internos hom${\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}$(omitimos los subíndices para facilitar la lectura), existe una formulación alternativa.

ψ _AB  : F ( A ⇒ B ) → FA ⇒ FB

de φ _AB comúnmente utilizado en programación funcional . La relación entre ψ _AB y φ _AB se ilustra en los siguientes diagramas conmutativos:

• Si${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$es un objeto monoide en${\displaystyle C}$, entonces${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$es un objeto monoide en${\displaystyle D}$. ^{[ 2 ]}

Supongamos que un functor${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$es adjunto izquierdo a un monoidal${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$. Entonces${\displaystyle F}$tiene una estructura comonoide${\displaystyle (F,m)}$inducido por${\displaystyle (G,n)}$, definido por

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

y

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$.

Si la estructura inducida en${\displaystyle F}$Si es fuerte, entonces la unidad y la counidad de la adjunción son transformaciones naturales monoidales , y se dice que la adjunción es una adjunción monoidal ; a la inversa, el adjunto izquierdo de una adjunción monoidal es siempre un functor monoidal fuerte.

De manera similar, un adjunto derecho de un functor comonoide es monoidal, y el adjunto derecho de una adjunción comonoide es un functor monoidal fuerte.

• transformación natural monoide

• Kelly, G. Max (1974). «Adjunción doctrinal». Category Seminar . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  420. Springer. pp. 257–280 . doi : 10.1007/BFb0063105 . ISBN  978-3-540-37270-7.
• Perrone, Paolo (2024). Starting Category Theory . World Scientific. doi : 10.1142/9789811286018_0005 . ISBN 978-981-12-8600-1.