Formato de mapeo de impulso

El formato de mapeo de momento es una técnica clave en el método de puntos materiales (MPM) para transferir cantidades físicas como momento , masa y tensión entre un punto material y una cuadrícula de fondo. ^{[ 1 ]}

El método de puntos materiales es una técnica numérica que utiliza una descripción mixta euleriana-lagrangiana. Discretiza el dominio computacional con puntos materiales y emplea una malla de fondo para resolver las ecuaciones de momento. Fue propuesto por Sulsky et al. en 1994. ^{[ 1 ]}

Desde entonces, MPM se ha expandido a diversos campos, como la dinámica de sólidos computacional. Actualmente, MPM cuenta con varios esquemas de mapeo de momento, siendo los cuatro principales PIC ( partícula en celda ), FLIP (partícula implícita fluida), formato híbrido y APIC (partícula afín en celda). Comprender estos esquemas en profundidad es crucial para el desarrollo futuro de MPM. ^{[ 1 ]}

MPM representa los materiales como conjuntos de puntos (o partículas) materiales. A diferencia de otros métodos de partículas como SPH ^{[ 2 ]} ( hidrodinámica de partículas suavizadas ) y DEM ^{[ 3 ]} ( método de elementos discretos ), MPM también utiliza una malla de fondo para resolver las ecuaciones de momento que surgen de las interacciones de partículas . MPM puede clasificarse como un método mixto de partículas/malla o un método mixto lagrangiano-euleriano. Al combinar las ventajas de ambos marcos, MPM pretende ser el solucionador numérico más eficaz para problemas de grandes deformaciones. ^{[ 4 ]} Se ha desarrollado aún más y se ha aplicado a varios problemas desafiantes como el impacto a alta velocidad (Huang et al., 2011 ^{[ 5 ]} ), deslizamientos de tierra (Fern et al., 2019 ^{[ 6 ]} ), medios porosos saturados (He et al., 2024 ^{[ 7 ]} ) e interacción fluido-estructura (Li et al., 2022). ^{[ 8 ]}

La comunidad del método de puntos materiales ha desarrollado varios esquemas de mapeo de momento , entre los cuales PIC, FLIP, el esquema híbrido y APIC son los más comunes. El esquema FLIP se usa ampliamente para problemas dinámicos debido a sus propiedades de conservación de energía , aunque puede introducir ruido numérico e inestabilidad (Bardenhagen, 2002 ^{[ 9 ]} ), lo que potencialmente conduce a fallas computacionales. Por el contrario, el esquema PIC es conocido por su estabilidad numérica y es ventajoso para problemas estáticos, pero sufre de una disipación numérica significativa (Brackbill et al., 1988 ^{[ 10 ]} ), lo cual es inaceptable para respuestas fuertemente dinámicas. Nairn et al. combinaron FLIP y PIC linealmente (Nairn, 2015 ^{[ 11 ]} ) para crear un esquema híbrido, ajustando la proporción de cada componente basándose en un análisis empírico en lugar de teórico. Hammerquist y Nairn (2017 ^{[ 12 ]} ) introdujeron un esquema mejorado llamado XPIC-m (por partícula-en-celda extendida de orden m), que aborda el filtrado excesivo y la difusión numérica de PIC mientras suprime el ruido causado por el espacio no lineal en FLIP utilizado en MPM. XPIC-1 (partícula-en-celda extendida de orden 1) es equivalente al método PIC estándar. Jiang et al. (2017, ^{[ 13 ]} 2015 ^{[ 14 ]} ) introdujeron el método de partícula en celda afín (APIC), donde las velocidades de las partículas se representan localmente afines, preservando el momento lineal y angular durante el proceso de transferencia. Esto reduce significativamente la disipación numérica y evita el ruido de velocidad y la inestabilidad que se observan en FLIP. Fu et al. (2017 ^{[ 15 ]} ) introdujeron funciones locales generalizadas en el método APIC, proponiendo el método de partícula en celda polinomial (PolyPIC). PolyPIC considera la transferencia G2P (de rejilla a partícula) como una proyección de la velocidad local de la partícula en la rejilla, preservando el momento lineal y angular , lo que mejora la retención de energía y vorticidad en comparación con el APIC original. Además, PolyPIC conserva las propiedades de filtrado de APIC y PIC, lo que proporciona robustez frente al ruido. ^{[ 15 ]}

En el esquema PIC, las velocidades de las partículas durante el subpaso de la cuadrícula a la partícula (G2P) se sobrescriben directamente extrapolando las velocidades nodales a las propias partículas: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{n+1}=\sum _{I}^{}S_{Ip}^{n}\mathbf {V} _{I}^{n+1}}$

En el esquema FLIP, las velocidades de los puntos materiales se actualizan interpolando los incrementos de velocidad de los nodos de la cuadrícula sobre el paso de tiempo actual: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \mathbf {a} _{I}^{n}={\frac {f_{I}^{int,n}+f_{I}^{ext,n}}{m_{I}^{n}}}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{n+1}=\mathbf {V} _{p}^{n}+\sum _{I}^{}S_{Ip}^{n}\mathbf {a} _{I}^{n}\Delta t}$

El mapeo de momento del esquema híbrido se puede representar matemáticamente como: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{n+1}=(1-\alpha _{FLIP}^{})\mathbf {V} _{p}^{PIC,n+1}+\alpha _{FLIP}^{})\mathbf {V} _{p}^{FLIP,n+1}}$

donde los parámetros se definen como se muestra a continuación.

• ${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{FLIP,n+1}}$representa la velocidad calculada utilizando el esquema FLIP
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{PIC,n+1}}$representa la velocidad utilizando el esquema PIC
• ${\displaystyle \alpha _{FLIP}^{}}$es la proporción de FLIP con ${\displaystyle \alpha _{FLIP}^{}=1}$representando FLIP puro y ${\displaystyle \alpha _{FLIP}^{}=0}$representando PIC puro

Basándose en la idea de "proporcionar el campo de velocidad local alrededor del punto material a la malla de fondo transfiriendo el gradiente de velocidad del punto material", Jiang et al. (2015 ^{[ 14 ]} ) propusieron el método APIC. En este método, la velocidad de la partícula es localmente afín , expresada matemáticamente como: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \mathbf {V} _{p}^{affine}=\mathbf {V} _{p}^{}+\mathbf {C} _{p}(\mathbf {x} _{}^{}-\mathbf {x} _{p}^{})}$

donde los parámetros se definen como se muestra a continuación:

• ${\displaystyle \mathbf {V} _{p}}$indica la velocidad de traslación
• ${\displaystyle \mathbf {C} _{p}^{}={\begin{bmatrix}C_{00}^{},C_{01}^{}\\C_{10}^{},C_{11}^{}\\\end{bmatrix}}}$ representa la matriz de emisión, ${\displaystyle C_{00}^{}}$ y ${\displaystyle C_{01}^{}}$ representan el patrón de los modelos de estiramiento horizontal y vertical, respectivamente, mientras que ${\displaystyle C_{00}^{}}$y${\displaystyle C_{01}^{}}$ representan el patrón de los modelos de movimiento de corte en sentido horario y antihorario, respectivamente. Si ${\displaystyle \mathbf {C} _{p}^{}=0}$, el esquema de mapeo de momento se simplificará al modo PIC. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

PIC ( partícula en celda ), FLIP (partícula implícita fluida), híbrido (solución híbrida) y APIC ( afín ^{[ 13 ]} ) Los diferentes métodos numéricos utilizados en la simulación de fluidos de partículas en celda muestran claramente cómo mapean el momento y las integrales de tiempo entre los puntos materiales y las mallas, y cómo difieren entre sí. Los esquemas típicos de integración temporal para PIC, FLIP, híbrido y APIC ^{[ 14 ]} tienen sus propias características únicas. La evolución del momento en la malla bajo cada esquema es idéntica. A pesar de las diferencias entre estos cuatro formatos de mapeo de momento, sus puntos comunes siguen siendo dominantes. En el proceso P2G, el mapeo de momento en los esquemas PIC, FLIP e híbrido es el mismo. Las posiciones de los puntos materiales se actualizan de la misma manera en los cuatro esquemas. Durante la etapa G2P, PIC transfiere el momento actualizado en los nodos de la malla directamente a los puntos materiales, FLIP utiliza un mapeo incremental y el esquema híbrido combina linealmente FLIP y PIC utilizando un coeficiente. El mapeo APIC mantiene una matriz afín adicional sobre el mapeo PIC. ^{[ 14 ]}

Las pruebas numéricas sobre la colisión de anillos resaltan el rendimiento de diferentes esquemas de mapeo de momento en problemas dinámicos. La distribución de la tensión media y la curva de evolución de la energía total en un tiempo típico son los contenidos clave de la atención de los investigadores. Debido a que el esquema de mapeo PIC cancela las velocidades en direcciones opuestas, se produce una pérdida de energía significativa, lo que impide la conversión efectiva de la energía cinética en energía de deformación. ^{[ 14 ]} GIMP_FLIP (punto material de interpolación generalizada - partícula implícita fluida) muestra un ruido numérico e inestabilidad notables, con oscilaciones severas en la tensión media, lo que lleva a la fractura numérica. GIMP_FLPI0.99 exhibe una estabilidad mejorada, pero aún conlleva el riesgo de fractura numérica. Las pruebas indican que aumentar el componente PIC mejora la estabilidad numérica, con una distribución de tensión más uniforme y regular, y la probabilidad de fractura numérica disminuye. Sin embargo, la pérdida de energía también se vuelve más pronunciada. GIMP_APIC (punto material de interpolación generalizada - partícula afín en celda) demuestra el mejor rendimiento, proporcionando una distribución de tensión estable y suave al tiempo que mantiene excelentes características de conservación de energía. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Recientemente, Qu et al. propusieron PowerPIC (Qu et al., 2022), un esquema de mapeo más estable y preciso basado en optimización, que también mantiene las características de volumen y distribución uniforme de partículas. ^{[ 16 ]}

• Hidrodinámica de partículas suavizadas
• Método de elementos finitos
• Partícula en célula
• Método de puntos materiales
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales

• "Techreport: the affineParticle-in-Cellmethod"(PDF). ChenfanfuJiang. Retrieved 12 July 2024.
• "APIC". Craig Schroeder. 15 March 2016. Retrieved 12 July 2024.
• "PolyPic"(PDF). CHUYUAN FU. Retrieved 12 July 2024.
• "PowerPic"(PDF). ZIYIN QU FU. Retrieved 12 July 2024.