Mojette transform

La transformada de Mojette es una aplicación de la geometría discreta . Más concretamente, es una versión discreta y exacta de la transformada de Radon , por lo que se trata de un operador de proyección.

El laboratorio IRCCyN - UMR CNRS 6597 en Nantes, Francia, lo ha estado desarrollando desde 1994.

La primera característica de la transformada de Mojette es que solo utiliza sumas y restas. La segunda característica es que la transformada de Mojette es redundante, ya que distribuye la información geométrica inicial en varias proyecciones.

Esta transformación utiliza geometría discreta para proyectar información sobre un soporte geométrico discreto. Este soporte se proyecta mediante el operador de Mojette en direcciones discretas. Cuando se dispone de suficientes proyecciones, se puede reconstruir la información inicial.

La transformada de Mojette ya se ha utilizado en numerosos ámbitos de aplicación:

• Tomografía médica
• Transferencia de paquetes de red
• Almacenamiento distribuido en discos o redes
• Sistemas de identificación de imágenes y criptografía de imágenes

Tras un año de investigación, la primera comunicación que introdujo la Transformada de Mojette tuvo lugar en mayo de 1995 en la primera edición del Congreso Nacional de CORESA CCITT Rennes. A lo largo de sus 18 años de existencia, le siguieron muchas otras. En 2011, el libro « La Transformada de Mojette: Teoría y Aplicaciones», publicado por ISTE-Wiley, tuvo una excelente acogida en la comunidad científica. Todo este apoyo ha animado al equipo de investigación del IRCCYN a continuar investigando sobre este tema.

Jeanpierre Guédon, profesor e inventor de la transformada, la denominó «Mojette Transform». La palabra «Mojette» proviene del nombre de las habas blancas en Vendée, originalmente escritas como «Moghette» o «Mojhette». En muchos países, la haba es una herramienta didáctica básica que representa una unidad exacta y enseña visualmente sumas y restas. Por lo tanto, la elección del nombre «Mojette» enfatiza que la transformada utiliza únicamente unidades exactas en sumas y restas.

El propósito original de la transformada de Mojette era crear una herramienta discreta para dividir el plano de Fourier en sectores angulares y radiales. El primer intento de aplicación fue la codificación psicovisual de imágenes, reproduciendo el canal de visión humana. Sin embargo, nunca se concretó.

La definición de la transformación "bruta" de Mojette es la siguiente:

${\displaystyle proj(b,p,q)=\sum _{k}^{}\sum _{l}^{}f(k,l)\Delta (b+kq-pl)}$

La siguiente figura 1 ayuda a explicar la transformación “bruta” de Mojette.

Comenzamos con la función f, representada por 16 píxeles desde p1 hasta p16. Los posibles valores de la función en el punto (k, l) varían según la aplicación. Puede ser un valor binario de 0 o 1, que se usa frecuentemente para diferenciar el objeto del fondo. También puede ser un valor ternario, como en el juego Mojette. Asimismo, puede ser un conjunto finito de valores enteros desde 0 hasta (n-1), o, más comúnmente, un conjunto con una cardinalidad igual a una potencia de 2 o un número primo. Incluso puede tratarse de números enteros y reales con un número infinito de posibilidades, aunque esta idea nunca se ha utilizado.

Con el índice "k" como columna y "l" como línea, definimos un sistema de coordenadas cartesianas . Pero aquí solo necesitaremos las coordenadas enteras. En la Figura 2, hemos elegido arbitrariamente el punto inferior izquierdo como origen (0,0) y la dirección de los dos ejes. Las coordenadas de cada píxel se muestran en rojo en la Figura 2.

Para las proyecciones, el sistema de coordenadas se deriva del de la cuadrícula. De hecho, cumple dos requisitos: 1) El píxel (0,0) siempre se proyecta sobre el punto 0 de la proyección (esto es consecuencia de la linealidad del operador de Mojette) 2) La dirección de la proyección es fija en sentido antihorario, como en trigonometría al ir de 0° a 180°.

En conjunto, esto necesariamente da las posiciones de los contenedores como las que aparecen en color azul en la Figura 2. Volvamos a la fórmula (1): los puntos rojos corresponden al índice (k, l) y los puntos azules al índice b. Los únicos elementos que quedan por aclarar son los valores (p, q).

Estos dos valores (p, q) son precisamente los que caracterizan la Transformada de Mojette. Definen el ángulo de proyección. La Figura 3 muestra flechas de colores que corresponden al código de color de la proyección indexada por (p, q). Para el ángulo de 90°, la proyección se muestra debajo de la cuadrícula para mayor claridad, pero la dirección es hacia arriba. La Tabla 1 muestra la correspondencia entre los ángulos en grados y los valores de p y q.

Los únicos ángulos de Mojette válidos vienen dados por las siguientes reglas:

1. Un ángulo viene dado por la dirección de proyección en línea y columna.
2. Una dirección se compone de dos números enteros (p, q) con mcd (p, q) = 1.
3. Un ángulo siempre está entre 0 y 180°, lo que significa que q nunca es negativo.

Estas reglas garantizan la unicidad en la correspondencia de un ángulo y los valores (p, q). Por ejemplo, para el ángulo de 45°, la Regla 2 prohíbe definir los pares de ángulos (2,2) o (3,3), y la Regla 3 prohíbe usar (-2, -2) y (-1, -1). Solo el ángulo (p = 1, q = 1) satisface las tres reglas.

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Contenido multimedia relacionado con Mojette Transform en Wikimedia Commons

• Página web del equipo IVC del laboratorio IRCCyN
• Juego en línea basado en la transformación de Mojette
• Sitio web oficial de la empresa ROZOFS
• Sitio web oficial de la empresa KEOSYS
• Sitio web oficial de la empresa QUALIFORMED