Acertijo del dólar perdido

El enigma del dólar perdido es un famoso acertijo que involucra una falacia informal , en la que los huéspedes de un hotel dividen su cuenta de una manera complicada que aparentemente deja un dólar sin contabilizar. Se remonta al menos a la década de 1930, aunque existen acertijos similares mucho más antiguos. ^{[ 1 ]}

Aunque la redacción y los detalles pueden variar, el rompecabezas sigue estas líneas:

Tres huéspedes se registran en una habitación de hotel. El gerente dice que la cuenta es de $30, así que cada huésped paga $10. Más tarde, el gerente se da cuenta de que la cuenta debería haber sido de solo $25. Para corregirlo, le da al botones $5 en cinco billetes de un dólar para que se los devuelva a los huéspedes.

De camino a la habitación de los huéspedes para devolverles el dinero, el botones se da cuenta de que no puede dividir equitativamente los cinco billetes de un dólar entre los tres huéspedes. Como los huéspedes desconocen el total de la factura corregida, el botones decide devolverles solo un dólar a cada uno y quedarse con dos como propina, y procede a hacerlo.

Como cada huésped recibió un dólar de vuelta, cada uno pagó solo 9 dólares, lo que hizo que el total pagado fuera de 27 dólares. El botones se quedó con 2 dólares, que al sumarse a los 27 dólares, dan un total de 29 dólares. Entonces, si los huéspedes originalmente entregaron 30 dólares, ¿qué pasó con el dólar restante?

Parece haber una discrepancia, ya que no puede haber dos respuestas ($29 y $30) al problema matemático. Por un lado, es cierto que los $25 en la caja, los $3 devueltos a los huéspedes y los $2 que se quedó el botones suman $30, pero por otro lado, los $27 pagados por los huéspedes y los $2 que se quedó el botones suman solo $29.

La distracción en este acertijo está en la segunda mitad de la descripción, donde se suman cantidades no relacionadas y la persona a quien se le plantea el acertijo asume que esas cantidades deberían sumar 30, y luego se sorprende cuando no lo hacen; de hecho, no hay ninguna razón por la que la suma (10 − 1) × 3 + 2 = 29 deba sumar 30.

La suma exacta mencionada en la adivinanza se calcula de la siguiente manera:

El truco aquí es darse cuenta de que esta no es la suma del dinero que las tres personas pagaron originalmente, ya que eso tendría que incluir el dinero que tiene el empleado ($25). Esta es, en cambio, la suma de una cantidad menor que las personas podrían haber pagado ($9 × 3 personas = $27), más el dinero adicional que el empleado no habría necesitado si hubieran pagado esa cantidad menor ($27 pagados - $25 costo real = $2). Dicho de otra manera, los $27 ya incluyen la propina del botones. Agregar los $2 a los $27 sería contarlos dos veces. Entonces, el costo de la habitación para los tres huéspedes, incluyendo la propina del botones, es de $27. Cada uno de los 3 huéspedes tiene $1 en su bolsillo, lo que suma $3. Cuando se agrega al costo revisado de la habitación de $27 (incluyendo la propina al botones), el total es de $30.

Para obtener una suma que llegue a los 30 dólares originales, hay que contabilizar cada dólar, independientemente de su ubicación.

Por lo tanto, la suma sensata puede expresarse de esta manera:

Esta suma asciende efectivamente a 30 dólares.

Existen muchas variantes del acertijo. La Cronología de las Matemáticas Recreativas del Profesor David Singmaster ^{[ 3 ]} sugiere que este tipo de acertijos matemáticos de distracción descienden de un problema de un libro de aritmética del siglo XVIII, Tutor's Assistant de Francis Walkingame ^{[ 4 ]} , que se publicó y reeditó entre 1751 y 1860, donde aparecía en la página 185, problema 116, con la siguiente forma: "Si 48 restado de 120 deja 72, y 72 restado de 91 deja 19, y 7 restado de ahí deja 12, ¿qué número es aquel del cual, al restar 48, 72, 19 y 7, quedan 12?". Singmaster añade: "Aunque esto no es lo mismo que los problemas de resta que se describen a continuación, la combinación de cantidades restadas y restos me hace pensar que este tipo de problema puede haber sido la base del tipo posterior".

Un error de interpretación de 1880 dice: "Barthel ve dos cajas en una joyería, con precios de 100 y 200. Compra la más barata y se la lleva a casa, donde decide que en realidad prefiere la otra. Regresa al joyero, le devuelve la caja y le dice que ya tiene 100 de él, lo que, junto con la caja devuelta, suma 200, que es el precio de la otra caja. El joyero acepta y le da a Barthel la otra caja, y Barthel sigue su camino. ¿Es esto correcto?"

Cecil B. Read presentó en su obra de 1933 , Mathematical Fallacies , un modelo más similar a la versión moderna. Su acertijo genera un dólar extra: Un hombre deposita $50 en el banco. En los días siguientes, retira $20, quedando $30; luego $15, quedando $15; luego $9, quedando $6; y finalmente $6, quedando $0. Pero $30 + $15 + $6 = $51. ¿De dónde salió el dólar extra?

La solución real a este acertijo es sumar correctamente (hora correcta, persona correcta y lugar correcto) desde el punto de vista del banco, que en este caso parece ser el problema:

1. Primer día: $30 en el banco + $20 que el propietario ya retiró = $50
2. Segundo día: $15 en el banco + ($15 + $20 que el propietario ya retiró) = $50
3. Tercer día: $6 en el banco + ($9 + $15 + $20 que el propietario ya retiró) = $50

Desde el punto de vista del propietario, la solución correcta es la siguiente:

1. Primer día: El propietario ya retiró $20 + $30 en el banco = $50
2. Segundo día: $20 que el propietario ya retiró + $15 que el propietario ya retiró + $15 en el banco = $50
3. Tercer día: ($20 retirados por el propietario + $15 retirados por el propietario + $9 retirados por el propietario) + $6 en el banco = $50

La solución parece muy obvia si el propietario retira diariamente solo 10 dólares de 50. Sumar 40 + 30 + 20 + 10 siguiendo el mismo patrón anterior sería un error demasiado evidente (el resultado sería 100 dólares).

La respuesta a la pregunta "¿De dónde salió el dólar extra?" se puede encontrar sumando consecutivamente el saldo bancario de tres días diferentes. Este método solo es correcto si el titular del dinero retira cada día exactamente la mitad. En ese caso, la suma será la misma: ($25 + $12.50 + $6.25) + $6.25 = $50.

Otra entrada de 1933, Diversions and Pastimes de RM Abraham (todavía disponible en una versión de Dover) plantea un enfoque ligeramente diferente con este problema de la página 16 (problema 61). "Un viajero que regresaba a Nueva York descubrió que solo tenía un giro postal de diez dólares y que su pasaje de tren costaba siete dólares. El empleado de la taquilla se negó a aceptar el giro postal, así que el viajero cruzó la calle hasta una casa de empeños y lo empeñó por siete dólares. De camino de vuelta a la estación se encontró con un amigo, quien, para ahorrarle al viajero la molestia de volver a cobrar el giro postal, le compró el billete empeñado por siete dólares. El viajero compró entonces su billete y todavía tenía siete dólares cuando llegó a Nueva York. ¿Quién sufrió la pérdida?" David Darling en su The Universal book of Mathematics , ^{[ 5 ]} reconoce esto como una versión anterior de la versión de los tres hombres en un hotel mencionada anteriormente.

Aún más similar es el libro inglés The Black-Out Book de Evelyn August, publicado en 1939; What happened to the shilling?, págs.  82 y 213. Tres chicas pagan cinco chelines cada una para compartir una habitación. El propietario les devuelve cinco chelines a través del botones, quien les da uno a cada una y se queda con dos.

Otro ejemplo del mismo tema aparece en una rutina de Abbott y Costello en la que Abbott le pide a Costello un préstamo de cincuenta dólares. Costello le ofrece cuarenta dólares y dice: "Eso es todo lo que tengo". Abbott responde: "De acuerdo, puedes deberme los otros diez".

El acertijo es utilizado por el psicoterapeuta ( Chris Langham ) con su cliente matemático ( Paul Whitehouse ) en el episodio 5 de la serie de comedia de la BBC de 2005 Help . ^{[ 6 ]}

Una variante, que también involucra chelines y a tres hombres en un restaurante a quienes les cobran de más, aparece en el tercer volumen de los libros de Jennifer Worth , Call the Midwife , Farewell to the East End (2009). Allí, el reparador Fred se la plantea a las comadronas de Nonnatus House .

Otra variante, que sustituye a los huéspedes por pastores, al empleado por un troll, a los dólares por ovejas y al botones por el hijo del troll, aparece en Dr. No de Percival Everett .

• Rompecabezas de cuadrados faltantes

• Página de Snopes: "El rompecabezas del dólar perdido"
• Psicología hoy
• "¿Dónde está el dólar desaparecido?"