Conceptos erróneos sobre la distribución normal

Suponer${\displaystyle X}$tiene una distribución normal con valor esperado 0 y varianza 1. Sea${\displaystyle W}$tener la distribución de Rademacher , de modo que${\displaystyle W=1}$o${\displaystyle W=-1}$, cada uno con probabilidad 1/2, y supongamos${\displaystyle W}$es independiente de${\displaystyle X}$. Dejar${\displaystyle Y=WX}$. Entonces${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$no están correlacionadas, como se puede verificar calculando su covarianza . Además, ambas tienen la misma distribución normal. Y sin embargo,${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$no son independientes. ^{[ 4 ] [ 1 ] [ 5 ]}

Para ver eso${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$no son independientes, observe que${\displaystyle |Y|=|X|}$o que${\displaystyle \operatorname {Pr} (Y>1\mid -1/2<X<1/2)=\operatorname {Pr} (X>1\mid -1/2<X<1/2)=0}$.

Finalmente, la distribución de la combinación lineal simple${\displaystyle X+Y}$concentra la probabilidad positiva en 0:${\displaystyle \operatorname {Pr} (X+Y=0)=1/2}$Por lo tanto, la variable aleatoria${\displaystyle X+Y}$no tiene una distribución normal, y por lo tanto también${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$no están distribuidas de forma normal conjunta (según la definición anterior). ^{[ 4 ]}

Suponer${\displaystyle X}$tiene una distribución normal con valor esperado 0 y varianza 1. Sea $${\displaystyle Y=\left\{{\begin{matrix}X&{\text{si }}\left|X\right|\leq c\\-X&{\text{si }}\left|X\right|>c\end{matrix}}\right.}$$ dónde${\displaystyle c}$es un número positivo que se especificará a continuación. Si${\displaystyle c}$es muy pequeño, entonces la correlación${\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)}$está cerca${\displaystyle -1}$si${\displaystyle c}$es muy grande, entonces${\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)}$está cerca de 1. Dado que la correlación es una función continua de${\displaystyle c}$, el teorema del valor intermedio implica que existe algún valor particular de${\displaystyle c}$eso hace que la correlación  sea 0. Ese valor es aproximadamente  1,54. ^{[ 2 ] [ nota 1 ]} En ese caso,${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$no están correlacionados, pero claramente no son independientes, ya que${\displaystyle X}$determina completamente${\displaystyle Y}$.

Para ver eso${\displaystyle Y}$tiene una distribución normal ; de hecho, su distribución es la misma que la de${\displaystyle X}$— se puede calcular su función de distribución acumulativa : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y\leq x)&=\Pr(\{|X|\leq c{\text{ y }}X\leq x\}{\text{ o }}\{|X|>c{\text{ y }}-X\leq x\})\\&=\Pr(|X|\leq c{\text{ y }}X\leq x)+\Pr(|X|>c{\text{ y }}-X\leq x)\\&=\Pr(|X|\leq c{\text{ y }}X\leq x)+\Pr(|X|>c{\text{ y }}X\leq x)\\&=\Pr(X\leq x),\end{aligned}}}$$

donde la penúltima igualdad se deduce de la simetría de la distribución de${\displaystyle X}$y la simetría de la condición que${\displaystyle |X|\leq c}$.

En este ejemplo, la diferencia${\displaystyle XY}$No se acerca en absoluto a una distribución normal, ya que tiene una probabilidad sustancial (alrededor de  0,88) de ser igual a  0. Por el contrario, la distribución normal, al ser una distribución continua, no tiene una parte discreta ; es decir, no concentra una probabilidad mayor que cero en ningún punto. En consecuencia,${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$no se distribuyen de forma normal conjuntamente , aunque se distribuyen de forma normal por separado. ^{[ 2 ]}

Supongamos que las coordenadas${\displaystyle (X,Y)}$Los puntos de un punto aleatorio en el plano se eligen de acuerdo con la función de densidad de probabilidad.$${\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {3}}}}\left[\exp \left(-{\frac {2}{3}}(x^{2}+xy+y^{2})\right)+\exp \left(-{\frac {2}{3}}(x^{2}-xy+y^{2})\right)\right].}$$Luego, las variables aleatorias${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$no están correlacionadas y cada una de ellas tiene una distribución normal (con media 0 y varianza 1), pero no son independientes. ^{[ 7 ] : 93}

Es bien sabido que la proporción${\displaystyle C}$de dos desviaciones aleatorias normales estándar independientes${\displaystyle X_{i}}$y${\displaystyle Y_{i}}$tiene una distribución de Cauchy . ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 7 ] : 122} También se puede comenzar con la variable aleatoria de Cauchy.${\displaystyle C}$y derivar la distribución condicional de${\displaystyle Y_{i}}$para satisfacer el requisito de que${\displaystyle X_{i}=CY_{i}}$con${\displaystyle X_{i}}$y${\displaystyle Y_{i}}$independiente y normal estándar. De ello se deduce que $${\displaystyle Y_{i}=W_{i}{\sqrt {\frac {\chi _{i}^{2}\left(k=2\right)}{1+C^{2}}}}}$$ en el cual${\displaystyle W_{i}}$es una variable aleatoria de Rademacher y${\displaystyle \chi _{i}^{2}\left(k=2\right)}$es una variable aleatoria Chi-cuadrado con dos grados de libertad.

Consideremos dos conjuntos de${\displaystyle \left(X_{i},Y_{i}\right)}$,${\displaystyle i\in \left\{1,2\right\}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle C}$no está indexado por${\displaystyle i}$– es decir, la misma variable aleatoria de Cauchy${\displaystyle C}$se utiliza en la definición de ambos${\displaystyle \left(X_{1},Y_{1}\right)}$y${\displaystyle \left(X_{2},Y_{2}\right)}$. Este intercambio de${\displaystyle C}$da como resultado dependencias entre índices: ninguno${\displaystyle X_{1}}$ni${\displaystyle Y_{1}}$es independiente de${\displaystyle Y_{2}}$. Sin embargo, todos los${\displaystyle X_{i}}$y${\displaystyle Y_{i}}$no están correlacionadas ya que todas las distribuciones bivariadas tienen simetría de reflexión a través de los ejes.

La figura muestra diagramas de dispersión de muestras extraídas de la distribución anterior. Esto proporciona dos ejemplos de distribuciones bivariadas que no están correlacionadas y tienen distribuciones marginales normales, pero no son independientes. El panel izquierdo muestra la distribución conjunta de${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle Y_{2}}$; la distribución tiene soporte en todas partes excepto en el origen. El panel derecho muestra la distribución conjunta de${\displaystyle Y_{1}}$y${\displaystyle Y_{2}}$; la distribución tiene soporte en todas partes excepto a lo largo de los ejes y tiene una discontinuidad en el origen: la densidad diverge cuando se aproxima al origen por cualquier camino recto excepto a lo largo de los ejes.