Metateorema

En lógica , un metateorema es una afirmación sobre un sistema formal demostrada en un metalenguaje . A diferencia de los teoremas demostrados dentro de un sistema formal dado, un metateorema se demuestra dentro de una metateoría y puede hacer referencia a conceptos que están presentes en la metateoría pero no en la teoría del objeto. ^{[ cita requerida ]}

Un sistema formal está determinado por un lenguaje formal y un sistema deductivo ( axiomas y reglas de inferencia ). El sistema formal puede utilizarse para probar oraciones particulares del lenguaje formal con ese sistema. Los metateoremas, sin embargo, se prueban externamente al sistema en cuestión, en su metateoría. Las metateorías comunes utilizadas en lógica son la teoría de conjuntos (especialmente en la teoría de modelos ) y la aritmética recursiva primitiva (especialmente en la teoría de la prueba ). En lugar de demostrar que oraciones particulares son demostrables, los metateoremas pueden mostrar que cada una de una amplia clase de oraciones puede probarse, o mostrar que ciertas oraciones no pueden probarse. ^{[ cita requerida ]}

Algunos ejemplos de metateoremas incluyen:

• El teorema de deducción para la lógica de primer orden dice que una oración de la forma φ→ψ es demostrable a partir de un conjunto de axiomas A si y sólo si la oración ψ es demostrable a partir del sistema cuyos axiomas consisten en φ y todos los axiomas de A.
• El teorema de existencia de clases de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel establece que para cada fórmula cuyos cuantificadores abarcan sólo conjuntos, existe una clase que consiste en los conjuntos que satisfacen la fórmula.
• Pruebas de consistencia de sistemas como la aritmética de Peano .
• El teorema de completitud de Gödel establece que la lógica de primer orden es completa .

• Metamatemáticas
• Distinción entre uso y mención

• Geoffrey Hunter (1969), Metalógica .
• Alasdair Urquhart (2002), "Metateoría", Un compañero para la lógica filosófica , Dale Jacquette (ed.), pág. 307

• Metateorema en la Enciclopedia de Matemáticas
• Barile, Margarita. "Metateorema". MundoMatemático .