norma uniforme

En el análisis matemático , la norma uniforme (oLa norma del supremo asigna, afunciones acotadasde valoresrealesocomplejos , $f$ definido en un conjunto $S$ ⁠ , el número no negativo

\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.

Esta norma también se llamanorma suprema ,lanorma de Chebyshev ,lanorma del infinito ,o, cuando elsupremoes de hecho el máximo, lanorma máxima . El nombre "norma uniforme" deriva del hecho de que una secuencia de funciones $\left\{f_{n}\right\}$ converge a $f$ ⁠ bajo la métrica derivada de la norma uniforme si y solo si ⁠ $f_{n}$ converge a $f$ uniformemente .^[¹^]

Si $f$ Si es una función continua en un intervalo cerrado y acotado , o más generalmente un conjunto compacto , entonces está acotada y el supremo en la definición anterior se alcanza mediante el teorema del valor extremo de Weierstrass , por lo que podemos reemplazar el supremo por el máximo. En este caso, la norma también se llamanorma máxima . En particular, si ⁠ $x$ es algún vector tal que $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ En un espacio de coordenadas de dimensión finita , toma la forma:

\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).

Esto se llama el $\ell ^{\infty }$ -norma .

Definición

Las normas uniformes se definen, en general, para funciones acotadas con valores en un espacio normado . Sea $X$ ser un conjunto y dejar $(Y,\|\|_{Y})$ ser un espacio normalizado . En el set $Y^{X}$ de funciones de $X$ a $Y$ , existe una norma extendida definida por

\|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].

En general, se trata de una norma extendida ya que la función $f$ puede no estar acotada. Restringir esta norma extendida a las funciones acotadas (es decir, las funciones con norma extendida finita por encima de) produce una norma (de valor finito), llamada norma uniforme en $Y^{X}$ . Nótese que la definición de norma uniforme no depende de ninguna estructura adicional en el conjunto $X$ , aunque en la práctica $X$ a menudo es al menos un espacio topológico .

La convergencia en $Y^{X}$ en la topología inducida por la norma extendida uniforme es la convergencia uniforme , para secuencias, y también para redes y filtros en $Y^{X}$ .

Podemos definir conjuntos cerrados y clausuras de conjuntos con respecto a esta topología métrica; los conjuntos cerrados en la norma uniforme a veces se denominan uniformemente cerrados y las clausuras, clausuras uniformes . La clausura uniforme de un conjunto de funciones A es el espacio de todas las funciones que pueden aproximarse mediante una sucesión de funciones uniformemente convergentes en $A.$ Por ejemplo, una reformulación del teorema de Stone-Weierstrass es que el conjunto de todas las funciones continuas en $[a,b]$ es el cierre uniforme del conjunto de polinomios en $[a,b].$

Para funciones continuas complejas sobre un espacio compacto, esto lo convierte en un álgebra C* (cf. representación de Gelfand ).

Estructuras más débiles que inducen la topología de convergencia uniforme

Métrica uniforme

La métrica uniforme entre dos funciones acotadas $f,g\colon X\to Y$ de un conjunto $X$ a un espacio métrico $(Y,d_{Y})$ se define por

d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))

La métrica uniforme también se llamaMétrica de Chebyshev , en honor aPafnuty Chebyshev, quien fue el primero en estudiarla sistemáticamente. En este caso, $f$ está acotado precisamente si $d(f,g)$ es finito para alguna función constante $g$ Si permitimos funciones no acotadas, esta fórmula no produce una norma o métrica en sentido estricto, aunque la denominada métrica extendida obtenida aún permite definir una topología en el espacio de funciones en cuestión; la convergencia sigue siendo la convergencia uniforme . En particular, una sucesión $\left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}$ converge uniformemente a una función $f$ si y solo si $\lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,$

Si $(Y,\|\|_{Y})$ es un espacio normado , entonces es un espacio métrico de forma natural. La métrica extendida en $Y^{X}$ inducido por la norma extendida uniforme es lo mismo que la métrica extendida uniforme

d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}

en $Y^{X}$

Uniformidad de la convergencia uniforme

Dejar $X$ ser un conjunto y dejar $(Y,{\mathcal {E}}_{Y})$ ser un espacio uniforme . Una secuencia $(f_{n})$ de funciones de $X$ a $Y$ Se dice que converge uniformemente a una función. $f$ si para cada séquito $E\in {\mathcal {E}}_{Y}$ Hay un número natural $n_{0}$ de tal manera que, $(f_{n}(x),f(x))$ pertenece a $E$ cuando sea $x\in X$ y $n\geq n_{0}$ . De manera similar para una red. Esto es una convergencia en una topología en $Y^{X}$ De hecho, los conjuntos

\{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}

dónde $E$ corre a través de séquitos de $Y$ formar un sistema fundamental de séquitos de una uniformidad en $Y^{X}$ , llamada la uniformidad de la convergencia uniforme en $Y^{X}$ La convergencia uniforme es precisamente la convergencia bajo su topología uniforme.

Si $(Y,d_{Y})$ es un espacio métrico , entonces está equipado por defecto con la uniformidad métrica . La uniformidad métrica en $Y^{X}$ con respecto a la métrica extendida uniforme es entonces la uniformidad de convergencia uniforme en $Y^{X}$ .

Propiedades

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, $c,$ forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista $2c.$

El motivo del subíndice “ $\infty$ ” es que siempre que $f$ es continuo y $\Vert f\Vert _{p}<\infty$ para algunos $p\in (0,\infty)$ , entonces $\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },$ dónde $\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}$ dónde $D$ es el dominio de $f$ ; la integral equivale a una suma si $D$ es un conjunto discreto (ver norma p ).

Véase también

L-infinito – Espacio de secuencias acotadas
Continuidad uniforme : restricción uniforme del cambio de funciones.
Espacio uniforme – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
Distancia de Chebyshev – Métrica matemática

Referencias

↑ Rudin, Walter (1964). Principios de análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. 151 págs . ISBN 0-07-054235-X.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[1] Rudin, Walter (1964). Principios de análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. 151 págs . ISBN 0-07-054235-X.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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