Unidad matricial

En álgebra lineal , una unidad matricial es una matriz con una sola entrada distinta de cero con valor 1. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La unidad matricial con un 1 en la i -ésima fila y j -ésima columna se denota como${\displaystyle E_{ij}}$. Por ejemplo, la unidad de matriz de 3 por 3 con i = 1 y j = 2 es $${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$Una unidad vectorial es un vector unitario estándar .

Una matriz de una sola entrada generaliza la unidad matricial para matrices con una sola entrada distinta de cero de cualquier valor, no necesariamente de valor 1.

El conjunto de unidades matriciales de m por n es una base del espacio de matrices de m por n . ^{[ 2 ]}

El producto de dos unidades matriciales de la misma forma cuadrada.${\displaystyle n\times n}$satisface la relación $${\ Displaystyle E_ {ij} E_ {kl} = \ delta _ {jk} E_ {il},}$$ dónde${\displaystyle \delta _{jk}}$es el delta de Kronecker . ^{[ 2 ]}

El grupo de matrices escalares n × n sobre un anillo R es el centralizador del subconjunto de unidades ^de matrices n × n en el conjunto de matrices n × n sobre R. ^{[ 2} ]

La norma matricial (inducida por las mismas dos normas vectoriales) de una unidad matricial es igual a 1.

Cuando se multiplica por otra matriz, aísla una fila o columna específica en una posición arbitraria. Por ejemplo, para cualquier matriz A de 3x3 : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$