Modelos de población matriciales

Los modelos de población matriciales son un tipo específico de modelo de población que utiliza álgebra matricial . Los modelos de población se utilizan en ecología de poblaciones para modelar la dinámica de la vida silvestre o las poblaciones humanas. El álgebra matricial, a su vez, es simplemente una forma de abreviatura algebraica para resumir una mayor cantidad de cálculos algebraicos a menudo repetitivos y tediosos.

Todas las poblaciones pueden ser modeladas

${\displaystyle N_{t+1}=N_{t}+B-D+IE,}$

dónde:

• N _t+1 = abundancia en el tiempo t+1
• N _t = abundancia en el tiempo t
• B = número de nacimientos dentro de la población entre N _t y N _t+1
• D = número de muertes dentro de la población entre N _t y N _t+1
• I = número de individuos que inmigran a la población entre N _t y N _t+1
• E = número de individuos que emigran de la población entre N _t y N _t+1

Esta ecuación se llama modelo BIDE (modelo de nacimiento, inmigración, muerte y emigración).

Aunque los modelos BIDE son conceptualmente simples, a menudo es difícil obtener estimaciones confiables de las 5 variables que contienen (N, B, D, I y E). Por lo general, un investigador intenta estimar la abundancia actual, N _t , a menudo utilizando alguna forma de técnica de marcaje y recaptura . Las estimaciones de B se pueden obtener a través de una relación de inmaduros a adultos poco después de la temporada de reproducción, R _i . El número de muertes se puede obtener estimando la probabilidad de supervivencia anual, generalmente a través de métodos de marcaje y recaptura , y luego multiplicando la abundancia actual por la tasa de supervivencia . A menudo, se ignoran la inmigración y la emigración porque son muy difíciles de estimar.

Para mayor simplicidad, puede ser útil pensar en el tiempo t como el final de la temporada de reproducción en el año t e imaginar que uno está estudiando una especie que tiene solo una temporada de reproducción discreta por año.

El modelo BIDE puede entonces expresarse como:

${\displaystyle N_{t+1}=N_{t,a}\times S_{a}+N_{t,i}\times R_{i}\times S_{i}}$

dónde:

• N _t,a = número de hembras adultas en el momento t
• N _t,i = número de hembras inmaduras en el momento t
• S _a = supervivencia anual de hembras adultas desde el tiempo t hasta el tiempo t+1
• S _i = supervivencia anual de hembras inmaduras desde el tiempo t hasta el tiempo t+1
• R _i = proporción de hembras jóvenes supervivientes al final de la temporada reproductiva por hembra reproductora

En notación matricial, este modelo se puede expresar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}N_{t+l_{i}}\\N_{t+l_{a}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}S_{i}R_{i}&S_{a}R_{i}\\S_{i}&S_{a}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N_{t_{i}}\\N_{t_{a}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}.}$

Supongamos que se está estudiando una especie con una esperanza de vida máxima de 4 años. La siguiente es una matriz de Leslie basada en la edad para esta especie. Cada fila de la primera y tercera matriz corresponde a animales dentro de un rango de edad determinado (0-1 años, 1-2 años y 2-3 años). En una matriz de Leslie, la fila superior de la matriz del medio consta de fertilidades específicas por edad: F ₁ , F ₂ y F ₃ . Nótese que F ₁ = S _i ×R _i en la matriz anterior. Dado que esta especie no vive hasta los 4 años, la matriz no contiene un término S ₃ .

${\displaystyle {\begin{alineado}{\begin{pmatrix}N_{t+l_{1}}\\N_{t+l_{2}}\\N_{t+l_{3}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}F_{1}&F_{2}&F_{3}\\S_{1}&0&0\\0&S_{2}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N_{t_{1}}\\N_{t_{2}}\\N_{t_{3}}\end{pmatrix}}\end{alineado}}.}$

Estos modelos pueden dar lugar a patrones cíclicos interesantes o aparentemente caóticos en abundancia a lo largo del tiempo cuando las tasas de fertilidad son altas.

Los términos F _i y S _i pueden ser constantes o funciones del entorno, como el hábitat o el tamaño de la población. La aleatoriedad también puede incorporarse al componente ambiental.

• Dinámica poblacional de la pesca

• Caswell, H. 2001. Modelos matriciales de población: construcción, análisis e interpretación, 2.ª edición. Sinauer Associates, Sunderland, Massachusetts. ISBN  0-87893-096-5 .
• Demostración del modelo de matriz de Leslie (Silverlight)