Factorización matricial (álgebra)

En el álgebra homológica , una rama de las matemáticas , la factorización de matrices es una herramienta que se utiliza para estudiar resoluciones infinitamente largas , generalmente sobre anillos conmutativos .

Motivación

Uno de los problemas de las álgebras no suaves, como las álgebras de Artin , es que sus categorías derivadas se comportan mal debido a las resoluciones proyectivas infinitas . Por ejemplo, en el anillo $R=\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ existe una resolución infinita de la $R$ - módulo $\mathbb {C}$ dónde

$\cdots {\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R\to \mathbb {C} \to 0$

En lugar de observar únicamente la categoría derivada de la categoría del módulo, David Eisenbud ^{[ 1 ]} estudió dichas resoluciones analizando su periodicidad. En general, dichas resoluciones son periódicas con un período $2$ después de un número finito de objetos en la resolución.

Definición

Para un anillo conmutativo $S$ y un elemento $f\in S$ , una factorización matricial de $f$ es un par de matrices de n por n $A,B$ de tal manera que $AB=f\cdot {\text{Id}}_{n}$ Esto se puede codificar de forma más general como un $\mathbb {Z} /2$ - calificado $S$ -módulo $M=M_{0}\oplus M_{1}$ con un endomorfismo

$d={\begin{bmatrix}0&d_{1}\\d_{0}&0\end{bmatrix}}$

de tal manera que $d^{2}=f\cdot {\text{Id}}_{M}$ .

Ejemplos

(1) Para $S=\mathbb {C} [[x]]$ y $f=x^{n}$ Hay una factorización de matrices $d_{0}:S\rightleftarrows S:d_{1}$ dónde $d_{0}=x^{i},d_{1}=x^{n-i}$ para $0\leq i\leq n$ .

(2) Si $S=\mathbb {C} [[x,y,z]]$ y $f=xy+xz+yz$ , entonces hay una factorización de matriz $d_{0}:S^{2}\rightleftarrows S^{2}:d_{1}$ dónde

$d_{0}={\begin{bmatrix}z&y\\x&-x-y\end{bmatrix}}{\text{ }}d_{1}={\begin{bmatrix}x+y&y\\x&-z\end{bmatrix}}$

Periodicidad

definición

Teorema principal

Dado un timbre local regular $R$ y un ideal $I\subset R$ generado por un $A$ -secuencia, conjunto $B=A/I$ y dejar

\cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to 0

ser mínimo $B$ -resolución libre del campo terrestre . Entonces $F_{\bullet }$ se vuelve periódico después de como máximo $1+{\text{dim}}(B)$ Pasos. https://www.youtube.com/watch?v=2Jo5eCv9ZVY

Módulos máximos de Cohen-Macaulay

Página 18 del artículo de Eisenbud

Estructura categórica

Soporte para factorizaciones matriciales

Véase también

Referencias

↑ Eisenbud, David (1980). "Álgebra homológica en una intersección completa, con una aplicación a las representaciones de grupos" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 260 : 35–64 . doi : 10.1090/S0002-9947-1980-0570778-7 . S2CID 27495286. Archivado del original (PDF) el 25 de febrero de 2020.

Lecturas adicionales

Álgebra homológica en una intersección completa con una aplicación a representaciones de grupos
Estudio geométrico de la categoría de factorizaciones matriciales
https://web.math.princeton.edu/~takumim/takumim_Spr13_JP.pdf
https://arxiv.org/abs/1110.2918

[1] Eisenbud, David (1980). "Álgebra homológica en una intersección completa, con una aplicación a las representaciones de grupos" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 260 : 35–64 . doi : 10.1090/S0002-9947-1980-0570778-7 . S2CID 27495286. Archivado del original (PDF) el 25 de febrero de 2020.

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