Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

ecuación diferencial matricial

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que describe una función desconocida de una o varias variables y que relaciona los valores de la función misma con sus deriva...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que describe una función desconocida de una o varias variables y que relaciona los valores de la función misma con sus derivadas de distintos órdenes. Una ecuación diferencial matricial contiene más de una función organizada en forma vectorial, con una matriz que relaciona las funciones con sus derivadas.

Por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria matricial de primer orden es

incógnita˙(t)=A(t)incógnita(t){\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)}

dóndeincógnita(t){\displaystyle \mathbf {x} (t)}es unnorte×1{\displaystyle n\times 1}vector de funciones de una variable subyacentet{\displaystyle t},incógnita˙(t){\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)}es el vector de primeras derivadas de estas funciones, yA(t){\displaystyle \mathbf {A} (t)}es unnorte×norte{\displaystyle n\times n}matriz de coeficientes.

En el caso dondeA{\displaystyle \mathbf {A} }es constante y tiene n autovectores linealmente independientes , esta ecuación diferencial tiene la siguiente solución general,

incógnita(t)=do1miλ1ttú1+do2miλ2ttú2+⋯+donortemiλnortettúnorte ,{\displaystyle \mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {u} _{n}~,}

donde λ 1 , λ 2 , …, λ n son los valores propios de A ; u 1 , u 2 , …, u n son los respectivos vectores propios de A ; y c 1 , c 2 , …, c n son constantes.

En términos más generales, siA(t){\displaystyle \mathbf {A} (t)}se desplaza con su integral∫atA(s)ds{\displaystyle \int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}Entonces, la expansión de Magnus se reduce al orden principal, y la solución general de la ecuación diferencial es

incógnita(t)=mi∫atA(s)dsdo ,{\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\mathbf {c} ~,}

dóndedo{\displaystyle \mathbf {c} }es unnorte×1{\displaystyle n\times 1}vector constante.

Mediante el teorema de Cayley-Hamilton y matrices de tipo Vandermonde , esta solución formal de exponencial matricial puede reducirse a una forma simple. [ 1 ] A continuación, esta solución se muestra en términos del algoritmo de Putzer. [ 2 ]

Cuando no se satisface esta relación de conmutación, la solución general la proporciona la exponencial ordenada .

incógnita(t)=OE⁡[A](t)do=T{mi∫0tA(s)ds}do .{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\operatorname {OE} [\mathbf {A} ](t)\mathbf {c} ={\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\right\}\mathbf {c} ~.}

Estabilidad y estado estacionario del sistema matricial

La ecuación matricial

incógnita˙(t)=Aincógnita(t)+b{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b} }

con un vector constante de parámetros b de n × 1 es estable si y solo si todos los valores propios de la matriz constante A tienen una parte real negativa.

El estado estacionario x* al que converge si es estable se encuentra estableciendo

incógnita˙∗(t)=0 ,{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} ^{*}(t)=\mathbf {0} ~,}

produciendo así

incógnita∗=−A−1b ,{\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ~,}

suponiendo que A es invertible.

Por lo tanto, la ecuación original puede escribirse en forma homogénea en términos de desviaciones del estado estacionario,

incógnita˙(t)=A[incógnita(t)−incógnita∗] .{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]~.}

Una forma equivalente de expresar esto es que x* es una solución particular de la ecuación no homogénea, mientras que todas las soluciones están en la forma

incógnitah+incógnita∗ ,{\displaystyle \mathbf {x} _{h}+\mathbf {x} ^{*}~,}

conincógnitah{\displaystyle \mathbf {x} _{h}}una solución a la ecuación homogénea ( b = 0 ).

Estabilidad del caso de dos variables de estado

En el caso n = 2 (con dos variables de estado), las condiciones de estabilidad de que los dos valores propios de la matriz de transición A tengan cada uno una parte real negativa son equivalentes a las condiciones de que la traza de A sea negativa y su determinante sea positivo.

Solución en forma matricial

La solución formal deincógnita˙(t)=A[incógnita(t)−incógnita∗]{\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]}tiene la forma exponencial matricial

incógnita(t)=incógnita∗+miAt[incógnita(0)−incógnita∗] ,{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {x} ^{*}+e^{\mathbf {A} t}[\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} ^{*}]~,}

evaluado mediante una multitud de técnicas.

Algoritmo de Putzer para calcular e A t

Dada una matriz A con valores propiosλ1,λ2,…,λnorte{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}},

miAt=∑j=0norte−1rj+1(t)PAGj{\displaystyle e^{\mathbf {A} t}=\sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf {P} _{j}}

dónde

PAG0=I{\displaystyle \mathbf {P} _{0}=\mathbf {I} }
PAGj=∏k=1j(A−λkI)=PAGj−1(A−λjI),j=1,2,…,norte−1{\displaystyle \mathbf {P} _{j}=\prod _{k=1}^{j}\left(\mathbf {A} -\lambda _{k}\mathbf {I} \right)=\mathbf {P} _{j-1}\left(\mathbf {A} -\lambda _{j}\mathbf {I} \right),\qquad j=1,2,\dots ,n-1}
r˙1=λ1r1{\displaystyle {\dot {r}}_{1}=\lambda _{1}r_{1}}
r1(0)=1{\displaystyle r_{1}{\left(0\right)}=1}
r˙j=λjrj+rj−1,j=2,3,…,norte{\displaystyle {\dot {r}}_{j}=\lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},\qquad j=2,3,\dots ,n}
rj(0)=0,j=2,3,…,norte{\displaystyle r_{j}{\left(0\right)}=0,\qquad j=2,3,\dots ,n}

Las ecuaciones parari(t){\displaystyle r_{i}(t)}son ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas de primer orden simples.

Cabe destacar que el algoritmo no requiere que la matriz A sea diagonalizable y evita las complejidades de las formas canónicas de Jordan que se utilizan habitualmente.

Ejemplo desglosado de una ecuación diferencial ordinaria matricial.

Una ecuación diferencial ordinaria matricial homogénea de primer orden en dos funciones x ( t ) e y ( t ) , cuando se toma de la forma matricial, tiene la siguiente forma:

dincógnitadt=a1incógnita+b1y,dydt=a2incógnita+b2y{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a_{1}x+b_{1}y,\quad {\frac {dy}{dt}}=a_{2}x+b_{2}y}

dóndea1{\displaystyle a_{1}},a2{\displaystyle a_{2}},b1{\displaystyle b_{1}}, yb2{\displaystyle b_{2}}pueden ser escalares arbitrarios.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias matriciales de orden superior pueden tener una forma mucho más compleja.

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias matriciales descompuestas

El proceso para resolver las ecuaciones anteriores y encontrar las funciones requeridas de este orden y forma específicos consta de 3 pasos principales. A continuación se detallan brevemente cada uno de estos pasos:

El tercer y último paso para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias generalmente se realiza sustituyendo los valores calculados en los dos pasos anteriores en una ecuación de forma general especializada, que se menciona más adelante en este artículo.

Ejemplo resuelto de una ecuación diferencial ordinaria matricial.

Para resolver una EDO matricial según los tres pasos detallados anteriormente, utilizando matrices simples en el proceso, encontremos, por ejemplo, una función x y una función y ambas en términos de la única variable independiente t , en la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden,

dincógnitadt=3incógnita−4y,dydt=4incógnita−7y .{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3x-4y,\quad {\frac {dy}{dt}}=4x-7y~.}

Para resolver este sistema particular de ecuaciones diferenciales ordinarias , en algún punto del proceso de solución, necesitaremos un conjunto de dos valores iniciales (correspondientes a las dos variables de estado en el punto de partida). En este caso, elijamos x (0) = y (0) = 1 .

Primer paso

El primer paso, ya mencionado anteriormente, es encontrar los valores propios de A en

[incógnita′y′]=[3−44−7][incógnitay] .{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.}

La notación de derivada x ′ etc. que se observa en uno de los vectores anteriores se conoce como notación de Lagrange (introducida por primera vez por Joseph Louis Lagrange ). Es equivalente a la notación de derivada dx/dt utilizada en la ecuación anterior, conocida como notación de Leibniz , en honor a Gottfried Leibniz .

Una vez que los coeficientes de las dos variables se han escrito en la forma matricial A mostrada arriba, se pueden evaluar los valores propios . Para ello, se encuentra el determinante de la matriz que se forma cuando una matriz identidad ,Inorte{\displaystyle I_{n}}, multiplicado por alguna constante λ , se resta de la matriz de coeficientes anterior para obtener su polinomio característico ,

det([3−44−7]−λ[1001]) ,{\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,}

y resolver para sus ceros.

Aplicando una mayor simplificación y las reglas básicas de la suma de matrices se obtiene:

det[3−λ−44−7−λ] .{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.}

Aplicando las reglas para hallar el determinante de una matriz simple de 2×2, se obtiene la siguiente ecuación cuadrática elemental :

det[3−λ−44−7−λ]=0{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0}
−21−3λ+7λ+λ2+16=0{\displaystyle -21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!}

que puede reducirse aún más para obtener una versión más simple de lo anterior,

λ2+4λ−5=0 .{\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.}

Ahora encontrando las dos raíces,λ1{\displaystyle \lambda _{1}} yλ2{\displaystyle \lambda _{2}}de la ecuación cuadrática dada mediante la aplicación del método de factorización produce

λ2+5λ−λ−5=0{\displaystyle \lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0}
λ(λ+5)−1(λ+5)=0{\displaystyle \lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0}
(λ−1)(λ+5)=0{\displaystyle (\lambda -1)(\lambda +5)=0}
λ=1,−5 .{\displaystyle \lambda =1,-5~.}

Los valoresλ1=1{\displaystyle \lambda _{1}=1}yλ2=−5{\displaystyle \lambda _{2}=-5}Los valores propios calculados anteriormente son los autovalores requeridos de A. En algunos casos, como en otras EDO matriciales, los autovalores pueden ser complejos , en cuyo caso el siguiente paso del proceso de resolución, así como la forma final y la solución, pueden cambiar drásticamente.

Segundo paso

Como se mencionó anteriormente, este paso implica encontrar los vectores propios de A a partir de la información proporcionada originalmente.

Para cada uno de los autovalores calculados, tenemos un autovector individual . Para el primer autovalor , que esλ1=1{\displaystyle \lambda _{1}=1}, tenemos

[3−44−7][αβ]=1[αβ].{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.}

Simplificando la expresión anterior mediante la aplicación de las reglas básicas de multiplicación de matrices se obtiene:

3α−4β=α{\displaystyle 3\alpha -4\beta =\alpha }
α=2β .{\displaystyle \alpha =2\beta ~.}

Todos estos cálculos se han realizado únicamente para obtener la última expresión, que en nuestro caso es α = 2 β . Ahora, tomando un valor arbitrario, presumiblemente un valor pequeño e insignificante, con el que es mucho más fácil trabajar, para α o β (en la mayoría de los casos, realmente no importa), lo sustituimos en α = 2 β . Al hacerlo, obtenemos un vector simple, que es el vector propio requerido para este valor propio en particular. En nuestro caso, elegimos α = 2 , lo que, a su vez, determina que β = 1 y, utilizando la notación vectorial estándar , nuestro vector se ve así:

v^1=[21].{\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.}

Realizando la misma operación utilizando el segundo valor propio que calculamos, que esλ=−5{\displaystyle \lambda =-5}, obtenemos nuestro segundo vector propio. El proceso para calcular este vector no se muestra, pero el resultado final es

v^2=[12].{\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}

Tercer paso

Este último paso encuentra las funciones requeridas que están "ocultas" tras las derivadas que se nos dieron originalmente. Hay dos funciones, porque nuestras ecuaciones diferenciales involucran dos variables.

La ecuación que involucra toda la información que hemos encontrado previamente tiene la siguiente forma:

[incógnitay]=Amiλ1tv^1+Bmiλ2tv^2.{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.}

Sustituyendo los valores de los autovalores y autovectores se obtiene

[incógnitay]=Amit[21]+Bmi−5t[12].{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}

Aplicando una mayor simplificación,

[incógnitay]=[2112][AmitBmi−5t].{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.}

Simplificando aún más y escribiendo las ecuaciones para las funciones x e y por separado,

incógnita=2Amit+Bmi−5t{\displaystyle x=2Ae^{t}+Be^{-5t}}
y=Amit+2Bmi−5t.{\displaystyle y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.}

Las ecuaciones anteriores son, de hecho, las funciones generales que se buscan, pero están en su forma general (con valores no especificados de A y B ), mientras que queremos encontrar sus formas y soluciones exactas. Así que ahora consideramos las condiciones iniciales dadas del problema (el problema que incluye condiciones iniciales dadas es el llamado problema de valor inicial ). Supongamos que se nos daincógnita(0)=y(0)=1{\displaystyle x(0)=y(0)=1}, que desempeña el papel de punto de partida para nuestra ecuación diferencial ordinaria; la aplicación de estas condiciones especifica las constantes A y B. Como vemos en laincógnita(0)=y(0)=1{\displaystyle x(0)=y(0)=1}condiciones, cuando t = 0 , los lados izquierdos de las ecuaciones anteriores son iguales a 1. Por lo tanto, podemos construir el siguiente sistema de ecuaciones lineales ,

1=2A+B{\displaystyle 1=2A+B}
1=A+2B .{\displaystyle 1=A+2B~.}

Al resolver estas ecuaciones, encontramos que ambas constantes A y B son iguales a 1/3. Por lo tanto, al sustituir estos valores en la forma general de estas dos funciones se especifican sus formas exactas, incógnita=23mit+13mi−5t{\displaystyle x={\tfrac {2}{3}}e^{t}+{\tfrac {1}{3}}e^{-5t}}y=13mit+23mi−5t ,{\displaystyle y={\tfrac {1}{3}}e^{t}+{\tfrac {2}{3}}e^{-5t}~,} las dos funciones buscadas.

Utilizando la exponenciación de matrices

El problema anterior podría haberse resuelto con una aplicación directa de la exponencial matricial . Es decir, podemos decir que

[incógnita(t)y(t)]=exp⁡([3−44−7]t)[incógnita0(t)y0(t)]{\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right){\begin{bmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{bmatrix}}}

Dado que (lo cual se puede calcular utilizando cualquier herramienta adecuada, como la herramienta de MATLABexpm , o realizando la diagonalización de la matriz y aprovechando la propiedad de que la exponencial matricial de una matriz diagonal es la misma que la exponenciación elemento a elemento de sus elementos)

exp⁡([3−44−7]t)=[4mit/3−mi−5t/32mi−5t/3−2mit/32mit/3−2mi−5t/34mi−5t/3−mit/3]{\displaystyle \exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right)={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}}

El resultado final es

[incógnita(t)y(t)]=[4mit/3−mi−5t/32mi−5t/3−2mit/32mit/3−2mi−5t/34mi−5t/3−mit/3][11]{\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}

[incógnita(t)y(t)]=[mi−5t/3+2mit/3mit/3+2mi−5t/3]{\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-5t}/3+2e^{t}/3\\e^{t}/3+2e^{-5t}/3\end{bmatrix}}}

Esto es lo mismo que el método de vectores propios que se mostró anteriormente.

Véase también

Referencias

  1. ^ Moya-Cessa, H.; Soto-Eguibar, F. (2011). Ecuaciones diferenciales: un enfoque operativo . Nueva Jersey: Rinton Press. ISBN 978-1-58949-060-4.
  2. ↑ Putzer, EJ (1966). "Evitando la forma canónica de Jordan en la discusión de sistemas lineales con coeficientes constantes". The American Mathematical Monthly . 73 (1): 2– 7. doi : 10.1080/00029890.1966.11970714 . JSTOR 2313914 .