Ángulo mágico

El ángulo mágico es un ángulo definido con precisión, cuyo valor es aproximadamente 54,7356°. El ángulo mágico es una raíz de un polinomio de Legendre de segundo orden , P² (cos θ ) = 0 , por lo que cualquier interacción que dependa de este polinomio se anula en el ángulo mágico. Esta propiedad hace que el ángulo mágico sea de particular importancia en _la espectroscopia de RMN de estado sólido con giro en ángulo mágico . En la resonancia magnética , las estructuras con colágeno ordenado , como tendones y ligamentos , orientadas en el ángulo mágico pueden aparecer hiperintensas en algunas secuencias; esto se conoce como artefacto o efecto del ángulo mágico.

Utilizando trigonometría

Utilizando el producto escalar vectorial

Cálculo del ángulo mágico doble en una molécula tetraédrica simétrica

El ángulo mágico θ _m es

$${\displaystyle \theta _{\mathrm {m} }=\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}=\arctan {\sqrt {2}}\approx 0.955\,32\ {\text{rad}}\approx 54.7^{\circ }\!,}$$

donde arccos y arctan son las funciones coseno inverso y tangente, respectivamente. OEIS : A195696 

θ _m es el ángulo entre la diagonal espacial de un cubo y cualquiera de sus tres aristas de conexión, ver imagen.

Otra representación del ángulo mágico es la mitad del ángulo de apertura formado cuando un cubo gira desde su eje diagonal espacial, que puede representarse como arccos − 1 / 3 o 2  arctan √ 2 radianes ≈ 109,4712  ° . Este  doble ángulo  mágico está directamente relacionado con la geometría molecular tetraédrica y es el ángulo entre dos vértices y el centro exacto de un tetraedro (es decir, el ángulo central de la arista, también conocido como ángulo tetraédrico).

En la espectroscopia de resonancia magnética nuclear (RMN), tres interacciones magnéticas nucleares prominentes, el acoplamiento dipolar , la anisotropía del desplazamiento químico (CSA) y el acoplamiento cuadrupolar de primer orden , dependen de la orientación del tensor de interacción con el campo magnético externo.

Al hacer girar la muestra alrededor de un eje determinado, su dependencia angular promedio se convierte en:

$${\displaystyle \left\langle 3\cos ^{2}\theta -1\right\rangle =\left(3\cos ^{2}\theta _ {\mathrm {r} }-1\right)\left(3\cos ^{2}\beta -1\right)\!,}$$

donde θ es el ángulo entre el eje principal de la interacción y el campo magnético, θ _r es el ángulo del eje de rotación con respecto al campo magnético y β es el ángulo (arbitrario) entre el eje de rotación y el eje principal de la interacción.

Para los acoplamientos dipolares, el eje principal corresponde al vector internuclear entre los espines acoplados; para la anisotropía del desplazamiento químico (CSA), corresponde a la dirección con el mayor desapantallamiento; para el acoplamiento cuadrupolar, corresponde al eje z del tensor gradiente del campo eléctrico.

El ángulo β no se puede manipular, ya que depende de la orientación de la interacción con respecto al marco molecular y de la orientación de la molécula con respecto al campo externo. Sin embargo, el ángulo θ _r puede ser determinado por el experimentador. Si se establece θ _r  = θ _m ≈ 54,7°   , la dependencia angular promedio tiende a cero. La rotación en ángulo mágico es una técnica de espectroscopia de RMN de estado sólido que emplea este principio para eliminar o reducir la influencia de las interacciones anisotrópicas, aumentando así la resolución espectral.

Para una interacción independiente del tiempo, es decir, acoplamientos dipolares heteronucleares, CSA y acoplamientos cuadrupolares de primer orden, el componente anisotrópico se reduce enormemente y casi se suprime en el límite de giro rápido, es decir, cuando la frecuencia de giro es mayor que el ancho de la interacción.

El promedio es cercano a cero solo en un tratamiento de teoría de perturbación de primer orden ; los términos de orden superior hacen que aparezcan frecuencias permitidas que son múltiplos de la frecuencia de giro, creando bandas laterales de giro en los espectros.

Las interacciones dependientes del tiempo, como los acoplamientos dipolares homonucleares, son más difíciles de promediar a sus valores isotrópicos mediante la rotación en ángulo mágico; una red de espines fuertemente acoplados producirá una mezcla de estados de espín durante el transcurso de la rotación de la muestra, lo que interfiere con el proceso de promediado.

El artefacto del ángulo mágico se refiere al aumento de la señal observado cuando se utilizan secuencias de resonancia magnética con un tiempo de eco corto (TE) (por ejemplo, _secuencias T1 o de eco de espín de densidad de protones) para obtener imágenes de tejidos con fibras de colágeno bien ordenadas en una dirección (por ejemplo, tendón o cartílago hialino articular). ^{[ 1 ]} Este artefacto se produce cuando el ángulo que forman dichas fibras con el campo magnético es igual a θm _.

Ejemplo: Este artefacto entra en juego al evaluar los tendones del manguito rotador del hombro. El efecto del ángulo mágico puede crear la apariencia de tendinitis del supraespinoso .

Para lograr una carga óptima en una manguera de goma recta , las fibras deben colocarse con un ángulo de aproximadamente 54,7 grados angulares, también conocido como ángulo mágico. El ángulo mágico de 54,7 equilibra exactamente la tensión longitudinal inducida por la presión interna y la tensión circunferencial. ^{[ 2 ]}