espacio bornológico

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , un espacio bornológico es un tipo de espacio que, en cierto sentido, posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de acotación de conjuntos y aplicaciones lineales , del mismo modo que un espacio topológico posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de continuidad . Los espacios bornológicos se distinguen por la propiedad de que una aplicación lineal de un espacio bornológico a cualquier espacio localmente convexo es continua si y solo si es un operador lineal acotado .

Los espacios bornológicos fueron estudiados por primera vez por George Mackey . El nombre fue acuñado por Bourbaki a partir de borné , la palabra francesa que significa " limitado ".

Una bornología en un plató${\displaystyle X}$es una colección${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$que cumplan todas las condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$cubiertas${\displaystyle X;}$eso es,${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo inclusiones; es decir, si${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$y${\displaystyle A\subseteq B,}$entonces${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$;
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo uniones finitas; es decir, si${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$entonces${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$;

Elementos de la colección${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se llaman${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-conjuntos acotados o simplemente acotados si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se entiende. ^{[ 1 ]} El par${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$se denomina estructura acotada o conjunto bornológico . ^{[ 1 ]}

Un sistema básico o fundamental de una bornología.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de tal manera que cada elemento de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de algún elemento de${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$Dada una colección${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X,}$la bornología más pequeña que contiene${\displaystyle {\mathcal {S}}}$se llama bornología generada por${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$y${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$son conjuntos bornológicos entonces su producto bornología en${\displaystyle X\times Y}$es la bornología teniendo como base la colección de todos los conjuntos de la forma${\displaystyle B\times C,}$dónde${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$y${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$^{[ 2 ]} Un subconjunto de${\displaystyle X\times Y}$está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ambos están delimitados.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial sobre un campo${\displaystyle \mathbb {K} }$dónde${\displaystyle \mathbb {K} }$tiene una bornología${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ Una bornología${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en${\displaystyle X}$se denomina bornología vectorial en${\displaystyle X}$si es estable bajo la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de envolventes equilibradas (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados es acotada, etc.).

Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico (TVS) y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología en${\displaystyle X,}$Entonces, los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología vectorial;
2. Sumas finitas y cascos equilibrados de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Los conjuntos acotados son${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-limitado; ^{[ 2 ]}
3. El mapa de multiplicación escalar${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$definido por${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$y el mapa de adición${\displaystyle X\times X\to X}$definido por${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ambos están acotados cuando sus dominios contienen sus bornologías de producto (es decir, mapean subconjuntos acotados a subconjuntos acotados). ^{[ 2 ]}

Una bornología vectorial${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Se denomina bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de envolventes convexas (es decir, la envolvente convexa de un conjunto acotado es acotada).${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Y una bornología vectorial${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se denomina separado si el único subespacio vectorial acotado de${\displaystyle X}$es el espacio trivial de dimensión 0${\displaystyle \{0\}.}$

Generalmente,${\displaystyle \mathbb {K} }$son los números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial${\displaystyle {\mathcal {B}}}$en${\displaystyle X}$se denominará bornología vectorial convexa si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$tiene una base formada por conjuntos convexos .