espiral logarítmica

Una espiral logarítmica , espiral equiangular o espiral de crecimiento es una curva espiral autosimilar que aparece con frecuencia en la naturaleza. El primero en describir una espiral logarítmica fue Albrecht Dürer (1525), quien la denominó "línea eterna" ("ewige Linie"). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Más de un siglo después, la curva fue analizada por Descartes (1638) y posteriormente investigada exhaustivamente por Jacob Bernoulli , quien la llamó Spira mirabilis , "la espiral maravillosa".

La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes en que las distancias entre los giros de una espiral logarítmica aumentan en progresión geométrica , mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

En coordenadas polares${\displaystyle (r,\varphi )}$La espiral logarítmica se puede escribir como ^{[ 3 ]}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,}$$ o $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},}$$ con${\displaystyle e}$siendo la base de los logaritmos naturales y${\displaystyle a>0}$,${\displaystyle k\neq 0}$siendo constantes reales.

La espiral logarítmica con la ecuación polar $${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$ puede representarse en coordenadas cartesianas${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$por $${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$ En el plano complejo${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$: $${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

La espiral mirabilis , que en latín significa "espiral milagrosa", es otro nombre para la espiral logarítmica. Aunque esta curva ya había sido nombrada por otros matemáticos, el nombre específico ("espiral milagrosa" o "maravillosa") se lo dio Jacob Bernoulli , fascinado por una de sus propiedades matemáticas únicas: el tamaño de la espiral aumenta, pero su forma permanece inalterada con cada curva sucesiva, una propiedad conocida como autosimilitud . Posiblemente como resultado de esta propiedad única, la espiral mirabilis ha evolucionado en la naturaleza, apareciendo en ciertas formas de crecimiento, como las conchas de nautilo y las cabezas de girasol . Jacob Bernoulli deseaba que dicha espiral fuera grabada en su lápida junto con la frase " Eadem mutata resurgo " ("Aunque cambiado, resucitaré igual"), pero, por error,se colocó allí una espiral de Arquímedes . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La espiral logarítmica${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$tiene las siguientes propiedades (ver Espiral ):

• Ángulo de cabeceo : Valor constante${\displaystyle \tan \alpha =k\quad }$
  con ángulo de inclinación${\displaystyle \alpha }$(Ver diagrama y animación).
  (En caso de${\displaystyle k=0}$ángulo${\displaystyle \alpha }$sería 0 y la curva un círculo con radio${\displaystyle a}$.)
• Curvatura :${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• Longitud del arco :${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha }}}$
  Especialmente:${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad \;}$es finito si${\displaystyle k>0}$.
  Esta propiedad fue descubierta por primera vez por Evangelista Torricelli incluso antes de que se inventara el cálculo . ^{[ 6 ]}
• Área del sector:${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Inversión: Inversión de círculo (${\displaystyle r\to 1/r}$) traza la espiral logarítmica${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$sobre la espiral logarítmica${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

• Rotación, escalado : Rotar la espiral por ángulo${\displaystyle \varphi _{0}}$produce la espiral${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$, que es la espiral original escalada uniformemente (en el origen) por${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$.
  Escalado por${\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}$da la misma curva.
• Autosimilitud : Un resultado de la propiedad anterior:
  Una espiral logarítmica escalada es congruente (por rotación) con la curva original.
  Ejemplo: El diagrama muestra espirales con ángulo de pendiente${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$y${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$Por lo tanto, todas son copias a escala de la roja. Pero también se pueden generar rotando la roja en ángulos.${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$resp. Todas las espirales no tienen puntos en común (ver propiedad sobre la función exponencial compleja ).
• Relación con otras curvas: Las espirales logarítmicas son congruentes con sus propias involutas , evolutas y curvas pedales en función de sus centros.
• Función exponencial compleja : La función exponencial asigna exactamente a todas las líneas no paralelas al eje real o imaginario en el plano complejo, todas las espirales logarítmicas en el plano complejo con centro en${\displaystyle 0}$:$${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}}$$El ángulo de inclinación${\displaystyle \alpha }$El ángulo entre la línea y el eje imaginario de la espiral logarítmica es el ángulo entre la línea y el eje imaginario.

La espiral áurea es una espiral logarítmica que crece hacia afuera en un factor de la proporción áurea por cada 90 grados de rotación (ángulo de inclinación de aproximadamente 17,03239 grados). Se puede aproximar mediante una "espiral de Fibonacci", formada por una secuencia de cuartos de círculo con radios proporcionales a los números de Fibonacci .

Un ciclón extratropical sobre Islandia muestra un patrón espiral aproximadamente logarítmico.

Los brazos de las galaxias espirales suelen tener la forma de una espiral logarítmica; aquí vemos la galaxia del remolino.

En varios fenómenos naturales se pueden encontrar curvas que se aproximan a espirales logarítmicas. A continuación, algunos ejemplos y razones:

• La aproximación de un halcón a su presa en persecución clásica , suponiendo que la presa se desplaza en línea recta. Su visión más nítida se produce en un ángulo con respecto a su dirección de vuelo; este ángulo es igual al paso de la espiral. ^{[ 7 ]}
• La aproximación de un insecto a una fuente de luz. Están acostumbrados a tener la fuente de luz en un ángulo constante con respecto a su trayectoria de vuelo. Por lo general, el Sol (o la Luna para las especies nocturnas) es la única fuente de luz y volar en esa dirección resultará en una línea prácticamente recta. ^{[ 8 ]} De igual modo, una línea de rumbo se aproxima a una espiral logarítmica cerca de un polo.
• Los brazos de las galaxias espirales . ^{[ 9 ]} La galaxia Vía Láctea tiene varios brazos espirales, cada uno de los cuales es aproximadamente una espiral logarítmica con un paso de unos 12 grados. ^{[ 10 ]} Sin embargo, aunque las galaxias espirales se han modelado a menudo como espirales logarítmicas, espirales arquimedianas o espirales hiperbólicas , sus ángulos de paso varían con la distancia al centro galáctico, a diferencia de las espirales logarítmicas (para las cuales este ángulo no varía), y también en contradicción con las otras espirales matemáticas utilizadas para modelarlas. ^{[ 11 ]}
• Los nervios de la córnea (es decir, los nervios corneales de la capa subepitelial terminan cerca de la capa epitelial superficial de la córnea en un patrón espiral logarítmico). ^{[ 12 ]}
• Las bandas de ciclones tropicales , como los huracanes. ^{[ 13 ]}
• Muchas estructuras biológicas , incluidas las conchas de los moluscos . ^{[ 14 ]} En estos casos, la razón puede ser la construcción a partir de la expansión de formas similares, como ocurre con las figuras poligonales .
• Las playas en espiral logarítmica pueden formarse como resultado de la refracción y difracción de las olas en la costa. Half Moon Bay (California) es un ejemplo de este tipo de playa. ^{[ 15 ]}

Un mecanismo de cancelación de corte aprovecha la autosimilitud de la espiral logarítmica para bloquearse en su lugar durante la rotación, independientemente del corte. ^{[ 16 ]}

Una antena espiral logarítmica

• Las antenas espirales logarítmicas son antenas independientes de la frecuencia, es decir, antenas cuyo patrón de radiación, impedancia y polarización permanecen prácticamente inalterados en un amplio ancho de banda. ^{[ 17 ]}
• Al fabricar mecanismos mediante máquinas de fabricación sustractiva (como las cortadoras láser ), puede producirse una pérdida de precisión cuando el mecanismo se fabrica en una máquina diferente debido a la diferencia en la cantidad de material eliminado (es decir, el ancho de corte ) por cada máquina durante el proceso de corte. Para compensar esta variación del ancho de corte, se ha utilizado la propiedad de autosimilitud de la espiral logarítmica para diseñar un mecanismo de cancelación del ancho de corte para cortadoras láser. ^{[ 18 ]}
• Los engranajes cónicos espirales logarítmicos son un tipo de engranaje cónico espiral cuyo eje central del diente forma una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica tiene la ventaja de proporcionar ángulos iguales entre el eje central del diente y las líneas radiales, lo que confiere mayor estabilidad a la transmisión de engranaje. ^{[ 19 ]}

Dispositivo de leva accionado por resorte , con superficies de leva en espiral logarítmica.

• En la escalada en roca , los dispositivos de leva con resorte están hechos de levas metálicas cuyas superficies de agarre exteriores tienen forma de arcos de espirales logarítmicas. Cuando el dispositivo se inserta en una grieta de la roca, la rotación de estas levas expande su ancho combinado para igualar el ancho de la grieta, manteniendo un ángulo constante con respecto a la superficie de la roca (en relación con el centro de la espiral, donde se aplica la fuerza). El ángulo de inclinación de la espiral se elige para optimizar la fricción del dispositivo contra la roca. ^{[ 20 ]}
• Se diseñaron robots blandos basados ​​en la espiral logarítmica para la impresión 3D escalable y eficiente. Mediante actuación por cable, imitan los movimientos de un pulpo para una manipulación de objetos estable y versátil. ^{[ 21 ]}

• espiral de Arquímedes
• Epispiral
• Lista de espirales
• El problema de los ratones , un problema geométrico que plantea la cuestión de la trayectoria seguida por ratones que se persiguen entre sí, cuya solución es una espiral logarítmica.
• Teorema de Tait-Kneser

• Weisstein, Eric W. "Espiral logarítmica" . MathWorld .
• Jim Wilson, Espiral equiangular (o espiral logarítmica) y sus curvas relacionadas. Archivado el 1 de mayo de 2021 en Wayback Machine , Universidad de Georgia (1999).
• Alexander Bogomolny , Spira Mirabilis - Espiral Maravillosa , en cut-the-knot

• Spira mirabilis Archivado el 15/07/2007 en la Wayback Machine Historia y matemáticas
• Imagen astronómica del día de la NASA: El huracán Isabel frente a la galaxia del remolino (25 de septiembre de 2003)
• Imagen astronómica del día de la NASA: El tifón Rammasun frente a la galaxia del molinillo (17 de mayo de 2008)
• SpiralZoom.com , un sitio web educativo sobre la ciencia de la formación de patrones, las espirales en la naturaleza y las espirales en la imaginación mítica.
• Exploración en línea mediante JSXGraph (JavaScript)
• Conferencia en YouTube sobre el problema de los ratones de Zenón y las espirales logarítmicas.