Estructura del registro

En geometría algebraica , una estructura logarítmica proporciona un contexto abstracto para estudiar esquemas semiestables y, en particular, la noción de forma diferencial logarítmica y los conceptos relacionados de la teoría de Hodge . Esta idea tiene aplicaciones en la teoría de espacios de módulos , en la teoría de la deformación y en la teoría de Hodge p-ádica de Fontaine , entre otras.

La idea es estudiar alguna variedad algebraica (o esquema ) U que sea suave pero no necesariamente propia incrustándola en X , que es propia, y luego observando ciertos haces en X . El problema es que el subhaz de que consiste en funciones cuya restricción a U es invertible no es un haz de anillos (ya que agregar dos funciones no nulas podría proporcionar una que se nulifique), y solo obtenemos un haz de submonoides de , multiplicativamente. Recordar esta estructura adicional en X corresponde a recordar la inclusión , que compara a X con esta estructura adicional con una variedad con borde (que corresponde a ). ^[1]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle j\colon U\to X}$${\displaystyle D=XU}$

Sea X un esquema. Una estructura prelogarítmica en X consiste en un haz de monoides (conmutativos) en X junto con un homomorfismo de monoides , donde se considera como un monoide bajo la multiplicación de funciones. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Una estructura prelogarítmica es una estructura logarítmica si además induce un isomorfismo . ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$

Un morfismo de estructuras (pre)logarítmicas consiste en un homomorfismo de haces de monoides que conmutan con los homomorfismos asociados en . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Un esquema de registro es simplemente un esquema provisto de una estructura de registro.

• Para cualquier esquema X , se puede definir la estructura logarítmica trivial en X tomando y como inclusión.${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$${\estilo de visualización \alpha}$
• El ejemplo que motiva la definición de la estructura logarítmica proviene de los esquemas semiestables. Sea X un esquema, la inclusión de un subesquema abierto de X , con complemento a un divisor con cruces normales . Entonces hay una estructura logarítmica asociada a esta situación, que es , con simplemente el morfismo de inclusión en . Esto se llama la estructura logarítmica canónica (o estándar ) en X asociada a D .${\displaystyle j\colon U\to X}$${\displaystyle D=XU}$${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$
• Sea R un anillo de valoración discreto , con cuerpo de residuos k y cuerpo de fracciones K . Entonces la estructura logarítmica canónica en consiste en la inclusión de (¡y no !) dentro de . De hecho, se trata de una instancia de la construcción anterior, pero tomando .${\displaystyle \mathrm {Espec.} (R)}$${\displaystyle R\setminus \{0\}}$${\displaystyle R^{\veces}}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle j\colon \mathrm {Espec.} (K)\to \mathrm {Espec.} (R)}$
• Con R como se indica arriba, también se puede definir la estructura del tronco hueco tomando el mismo haz de monoides que anteriormente, pero enviando en su lugar el ideal máximo de R a 0.${\displaystyle \mathrm {Espec.} (R)}$

Una aplicación de las estructuras logarítmicas es la capacidad de definir formas logarítmicas (también llamadas formas diferenciales con polos logarítmicos) en cualquier esquema logarítmico. A partir de esto, se puede, por ejemplo, definir la suavidad logarítmica y la étaleidad logarítmica, generalizando las nociones de morfismos suaves y morfismos étale . Esto permite, a su vez, el estudio de la teoría de la deformación .

Además, las estructuras logarítmicas sirven para definir la estructura de Hodge mixta en cualquier variedad compleja suave X , tomando una compactificación con un divisor de cruces normales en el borde D , y escribiendo el complejo de De Rham logarítmico correspondiente . ^[2]

Los objetos logarítmicos también aparecen naturalmente como objetos en el límite de los espacios de módulos , es decir, a partir de degeneraciones.

La geometría logarítmica también permite la definición de cohomología logarítmica-cristalina, un análogo de la cohomología cristalina que tiene un buen comportamiento para variedades que no son necesariamente suaves, solo logarítmicamente suaves. Esto tiene aplicación en la teoría de las representaciones de Galois y, en particular, en las representaciones de Galois semiestables.

• Geometría del registro
• Esquema semiestable
• Cohomología log-cristalina