Lista de representaciones de e

La constante matemática e puede representarse de diversas maneras como un número real . Como e es un número irracional (ver prueba de que e es irracional ), no puede representarse como el cociente de dos números enteros , pero sí como una fracción continua . Utilizando el cálculo , e también puede representarse como una serie infinita , un producto infinito u otros tipos de límite de una secuencia .

Euler demostró que el número e se representa como la fracción continua simple infinita ^[1] (secuencia A003417 en la OEIS ):

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ]\\[8pt]&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{{} \atop \ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

A continuación se presentan algunas expansiones de e en fracciones continuas generalizadas infinitas . La segunda se genera a partir de la primera mediante una transformación de equivalencia simple .

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+{{} \atop \ddots }}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{{} \atop \ddots }\,}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{{} \atop \ddots }\,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{{} \atop \ddots }\,}}}}}}}}}}}$

Esta última fracción continua no simple (secuencia A110185 en la OEIS ), equivalente a , tiene una tasa de convergencia más rápida en comparación con la fórmula de fracción continua de Euler ^{[ aclaración necesaria ]} y es un caso especial de una fórmula general para la función exponencial : ${\displaystyle e=[1;0.5,12,5,28,9,...]}$

${\displaystyle e^{x/y}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+{{} \atop \ddots }}}}}}}}}}}}$

El número e se puede expresar como la suma de las siguientes series infinitas :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}$para cualquier número real x .

En el caso especial donde x  = 1 o −1, tenemos:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$, ^[2] y

${\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Otras series incluyen las siguientes:

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}$ ^[3]

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+1)^{2}+1}{(3k+1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+2)^{2}+1}{(3k+2)!}}}$

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$¿Dónde está el n- ésimo número de Bell ?${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2k+3}{(k+2)!}}}$^[4]

La consideración de cómo poner límites superiores a e conduce a esta serie descendente:

${\displaystyle e=3-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k!(k-1)k}}=3-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{288}}-{\frac {1}{2400}}-{\frac {1}{21600}}-{\frac {1}{211680}}-{\frac {1}{2257920}}-\cdots }$

que da al menos un dígito correcto (o redondeado hacia arriba) por término. Es decir, si 1 ≤ n , entonces

${\displaystyle e<3-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k!(k-1)k}}<e+0.6\cdot 10^{1-n}\,.}$

De manera más general, si x no está en {2, 3, 4, 5, ...}, entonces

${\displaystyle e^{x}={\frac {2+x}{2-x}}+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)}}\,.}$

La representación en serie de , dada como también se puede expresar utilizando una forma de recursión. Cuando se factoriza iterativamente a partir de la serie original, el resultado es la serie anidada ^[5] que equivale a Esta fracción tiene la forma , donde calcula la suma de los términos de a . ${\displaystyle e}$$${\displaystyle e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }$$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{n}}}$ $${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1}}\left(1+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{3}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$$$${\displaystyle e=1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{3}}}{2}}}{1}}}$$${\displaystyle \textstyle f(n)=1+{\frac {f(n+1)}{n}}}$${\displaystyle f(1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \infty }$

El número e también se da mediante varias formas de producto infinito, incluido el producto de Pippenger.

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }$

y el producto de Guillera ^{[6] [7]}

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

donde el factor n- ésimo es la raíz n- ésima del producto

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

así como el producto infinito

${\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

De manera más general, si 1 < B < e ² (que incluye B = 2, 3, 4, 5, 6 o 7), entonces

${\displaystyle e={\frac {B\cdot B^{(\ln(B)-1)^{2}}\cdots }{B^{\ln(B)-1}\cdot B^{(\ln(B)-1)^{3}}\cdots }}.}$

También

${\displaystyle e=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2/{((n+\alpha )(n+\beta ))}}\ \forall \alpha ,\beta \in {\mathbb {R}}}$

El número e es igual al límite de varias sucesiones infinitas :

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$y

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$(ambos por la fórmula de Stirling ).

El límite simétrico, ^[8]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}$

puede obtenerse mediante la manipulación de la definición de límite básico de e .

Las dos siguientes definiciones son corolarios directos del teorema de los números primos ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}\\e&=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}\\&=\lim _{n\to \infty }n^{n/p_{n}}\end{aligned}}}$

donde es el n -ésimo primo , es el primo del n -ésimo primo, y es la función de conteo de primos . ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle p_{n}\#}$${\displaystyle \pi (n)}$

También:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

En el caso especial de que , el resultado es la famosa afirmación: ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

La relación entre el factorial , que cuenta todas las permutaciones de un conjunto ordenado S con cardinalidad , y el subfactorial (también conocido como función de desequilibrio ) , que cuenta la cantidad de permutaciones en las que ningún elemento aparece en su posición original, tiende a a medida que crece. ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle !n}$${\displaystyle e}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.}$

Considere la secuencia:

${\displaystyle e_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Por el teorema del binomio : ^[10]

${\displaystyle e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}{\frac {1}{n^{k}}}}$

que converge a medida que aumenta. El término es la potencia factorial descendente de , que se comporta como cuando es grande . Para fijos y como : ${\displaystyle e}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{\underline {k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \textstyle n\to \infty }$

${\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{n^{k}}}\approx 1-{\frac {k(k-1)}{2n}}}$

Una representación única de e se puede encontrar dentro de la estructura del Triángulo de Pascal , como lo descubrió Harlan Brothers. El Triángulo de Pascal está compuesto de coeficientes binomiales , que tradicionalmente se suman para derivar expansiones polinómicas. Sin embargo, Brothers identificó una relación basada en productos entre estos coeficientes que se vincula con e . Específicamente, la relación de los productos de los coeficientes binomiales en filas adyacentes del Triángulo de Pascal tiende a e a medida que aumenta el número de fila n :

${\displaystyle {\begin{aligned}P(n)&=\sum _{k=0}^{n}\ln {\binom {n}{k}}\\A&=P(n-1),B=P(n),C=P(n+1)\\x&=(A-B)+(C-B)\sim 1\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \exp x\sim e}$

Los detalles de esta relación y su prueba se describen en la discusión sobre las propiedades de las filas del Triángulo de Pascal . ^{[11] [12]}

Trigonométricamente, e se puede escribir en términos de la suma de dos funciones hiperbólicas ,

${\displaystyle e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x),}$

en x = 1 .

• Lista de fórmulas que involucran π