Modelo de probabilidad lineal

En estadística , un modelo de probabilidad lineal (MPL) es un caso especial de un modelo de regresión binaria . En este caso, la variable dependiente de cada observación toma valores que son 0 o 1. La probabilidad de observar un 0 o un 1 en cualquier caso se considera dependiente de una o más variables explicativas . Para el "modelo de probabilidad lineal", esta relación es particularmente simple y permite que el modelo se ajuste mediante regresión lineal .

El modelo supone que, para un resultado binario ( ensayo de Bernoulli ), y su vector asociado de variables explicativas, [ ^1]${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle \Pr(Y=1|X=x)=x'\beta .}$

Para este modelo,

${\displaystyle E[Y|X]=0\cdot \Pr(Y=0|X)+1\cdot \Pr(Y=1|X)=\Pr(Y=1|X)=x'\beta ,}$

y por lo tanto el vector de parámetros β puede estimarse utilizando mínimos cuadrados . Este método de ajuste sería ineficiente, ^[1] y puede mejorarse adoptando un esquema iterativo basado en mínimos cuadrados ponderados , ^[1] en el que el modelo de la iteración anterior se utiliza para proporcionar estimaciones de las varianzas condicionales, , que variarían entre observaciones. Este enfoque puede relacionarse con el ajuste del modelo por máxima verosimilitud . ^[1]${\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)}$

Un inconveniente de este modelo es que, a menos que se impongan restricciones a , los coeficientes estimados pueden implicar probabilidades fuera del intervalo unitario . Por este motivo, se utilizan con más frecuencia modelos como el modelo logit o el modelo probit .${\estilo de visualización \beta}$ ${\estilo de visualización [0,1]}$

De manera más formal, el LPM puede surgir de una formulación de variable latente (que generalmente se encuentra en la literatura econométrica ^[2] ), de la siguiente manera: supongamos el siguiente modelo de regresión con una variable dependiente latente (no observable):

${\displaystyle y^{*}=b_{0}+\mathbf {x} '\mathbf {b} +\varepsilon ,\;\;\varepsilon \mid \mathbf {x} \sim U(-a,a ).}$

El supuesto crítico aquí es que el término de error de esta regresión es una variable aleatoria uniforme simétrica alrededor de cero y, por lo tanto, de media cero. La función de distribución acumulativa de aquí es${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle F_{\varepsilon |\mathbf {x} }(\varepsilon \mid \mathbf {x} )={\frac {\varepsilon +a}{2a}}.}$

Defina la variable indicadora si , y cero en caso contrario, y considere la probabilidad condicional ${\displaystyle y=1}$${\displaystyle y^{*}>0}$

${\displaystyle {\rm {Pr}}(y=1\mid \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(y^{*}>0\mid \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(b_{0}+\mathbf {x} '\mathbf {b} +\varepsilon >0\mid \mathbf {x} )}$

${\displaystyle ={\rm {Pr}}(\varepsilon >-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )=1-{\rm {Pr}}(\varepsilon \leq -b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )}$

${\displaystyle =1-F_{\varepsilon |\mathbf {x} }(-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )=1-{\frac {-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} +a}{2a}}={\frac {b_{0}+a}{2a}}+{\frac {\mathbf {x} '\mathbf {b} }{2a}}.}$

Pero este es el Modelo de Probabilidad Lineal,

${\displaystyle P(y=1\mid \mathbf {x} )=\beta _{0}+\mathbf {x} '\beta }$

con el mapeo

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {b_{0}+a}{2a}},\;\;\beta ={\frac {\mathbf {b} }{2a}}.}$

Este método es un dispositivo general para obtener un modelo de probabilidad condicional de una variable binaria: si suponemos que la distribución del término de error es Logística, obtenemos el modelo logit , mientras que si suponemos que es la Normal, obtenemos el modelo probit y, si suponemos que es el logaritmo de una distribución Weibull, el modelo log-log complementario .

• Aproximación lineal

• Aldrich, John H. ; Nelson, Forrest D. (1984). "El modelo de probabilidad lineal". Modelos de probabilidad lineal, logit y probit . Sage. págs. 9–29. ISBN 0-8039-2133-0.
• Amemiya, Takeshi (1985). "Modelos de respuesta cualitativa". Econometría avanzada . Oxford: Basil Blackwell. pp. 267–359. ISBN 0-631-13345-3.
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Una variable dependiente binaria: el modelo de probabilidad lineal". Introducción a la econometría: un enfoque moderno (quinta edición internacional). Mason, OH: South-Western. págs. 238–243. ISBN 978-1-111-53439-4.
• Horrace, William C. y Ronald L. Oaxaca. "Resultados sobre el sesgo y la inconsistencia de los mínimos cuadrados ordinarios para el modelo de probabilidad lineal". Economics Letters, 2006: vol. 90, págs. 321-327