Análisis límite

El análisis límite es un campo del análisis estructural dedicado al desarrollo de métodos eficientes para determinar directamente las estimaciones de la carga de colapso de un modelo estructural dado, sin recurrir a análisis iterativos o incrementales. Para ello, el análisis límite se basa en un conjunto de teoremas, denominados teoremas límite, que, a su vez, establecen propiedades relativas a las tensiones y deformaciones , límites inferiores y superiores para la carga de colapso y la carga de colapso exacta.

Consideremos una estructura sometida a cargas${\displaystyle f_{i}}$proporcional a un multiplicador de carga${\displaystyle \lambda }$de tal manera que

${\displaystyle f_{i}=\lambda f_{0}}$

La idea básica del análisis límite es determinar el valor del multiplicador de carga que lleva a una estructura a la condición de colapso incipiente. El problema, por lo tanto, es determinar el valor crítico.${\displaystyle \lambda =\lambda _{c}}$

en el que el sistema alcanza la condición de colapso incipiente. ^{[ 1 ]}

En su formulación clásica, el análisis límite se basa en varias suposiciones fundamentales: ^{[ 2 ]}

• Se supone que el material es rígido-perfectamente plástico, lo que significa que se desprecian las deformaciones elásticas;
• La regla de flujo plástico está asociada, lo que significa que el potencial plástico coincide con la función de fluencia (${\displaystyle F=G}$);
• La función de plasticidad es convexa;
• Las deformaciones son suficientemente pequeñas como para permitir que las ecuaciones de equilibrio se escriban en la configuración no deformada.

Bajo las suposiciones enumeradas anteriormente, el teorema estático del análisis límite establece que, si existe un campo de tensiones estáticamente admisible —es decir, un campo de tensiones que satisface las ecuaciones de equilibrio en forma fuerte, concretamente en cada punto del dominio, las condiciones de contorno estáticas y el criterio de resistencia del material— entonces la carga asociada a esta distribución de tensiones será ciertamente menor o igual que la carga límite de colapso. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

En otras palabras, la carga determinada de esta manera representa un límite inferior de la solución.

En forma de fórmula:

${\displaystyle \lambda ^{st}\leq \lambda _{c}}$

dónde${\displaystyle \lambda ^{st}}$representa el multiplicador de carga obtenido por el método estático.

En resumen, para identificar un límite inferior de la solución, el método estático requiere:

• imponiendo las ecuaciones de equilibrio en forma fuerte y las condiciones de contorno estáticas;
• imponer la ley constitutiva en caso de fracaso.

El teorema cinemático establece que, bajo las mismas suposiciones, cualquier mecanismo de colapso cinemáticamente admisible proporciona un valor de carga límite mayor o igual a la carga de colapso real. Un mecanismo es cinemáticamente admisible cuando el campo de velocidad o el campo de desplazamiento virtual es compatible con las restricciones cinemáticas del problema y con las condiciones de deformación plástica impuestas por la regla de flujo.

El valor de carga asociado al mecanismo se obtiene imponiendo el equilibrio de tensiones en forma débil, es decir, en forma integral. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

En forma de fórmula:

${\displaystyle \lambda ^{cin}\geq \lambda _ {c}}$

dónde${\displaystyle \lambda ^{cin}}$indica el multiplicador de carga obtenido mediante el método cinemático.

En resumen, para hallar una cota superior de la solución, el método cinemático requiere:

• imponiendo un equilibrio en forma débil, es decir, igualdad entre la potencia de las cargas externas y la disipación plástica interna;
• imponiendo la ley constitutiva en caso de fracaso;
• identificar un mecanismo de fallo cinemáticamente admisible.

A la luz de los teoremas de análisis límite, el multiplicador de carga crítico que realmente provoca el colapso del sistema se encuentra entre un límite inferior obtenido por el método estático y un límite superior obtenido por el método cinemático:

${\displaystyle \lambda _{st}\leq \lambda _{c}\leq \lambda _{cin}}$

Para identificar la solución exacta, es necesario maximizar${\displaystyle \lambda ^{st}}$dentro de la familia de campos de tensión estáticamente admisibles y, a la inversa, para minimizar${\displaystyle \lambda ^{cin}}$dentro de la familia de mecanismos cinemáticamente admisibles. De esta manera, cuando los dos valores coinciden, la carga límite se determina con exactitud:

${\displaystyle \lambda _{c}=\lambda _{st}=\lambda _{cin}}$

• OPTUM G2 (2014-) Software de propósito general para aplicaciones geotécnicas en 2D (también incluye elastoplasticidad, filtración, consolidación, construcción por etapas, túneles y otros tipos de análisis geotécnicos relevantes).
• OPTUM G3 (2018-) Software de propósito general para aplicaciones geotécnicas en 3D (también incluye otros tipos de análisis geotécnicos relevantes).
• OPTUM CS (Concrete Solutions) (2019-) Software de diseño y análisis 3D para hormigón prefabricado y vertido in situ (también incluye elastoplasticidad).
• OPTUM MP (2019-) Software gratuito para el diseño y análisis de losas de hormigón en 2D.
• LimitState:GEO (2008-) Software geotécnico de propósito general, aplicación de análisis de límites. Utiliza optimización de diseño de discontinuidades .
• LimitState:SLAB (2015-) Aplicación de software de análisis límite para losas. Utiliza optimización de diseño de discontinuidades .

• Chen, Wai-Fah; Da-Jian Han (2007). Plasticidad para ingenieros estructurales . J. Ross publishing classics. pp. 409–490 . ISBN  978-1-932159-75-2.