Coordenadas del cono de luz

En física , particularmente en la relatividad especial , las coordenadas del cono de luz , introducidas por Paul Dirac ^{[ 1 ]} y también conocidas como coordenadas de Dirac, son un sistema de coordenadas especial donde dos ejes de coordenadas combinan tanto el espacio como el tiempo, mientras que todos los demás son espaciales.

Un plano espaciotemporal puede asociarse con el plano de números complejos divididos , sobre el cual actúan elementos de la hipérbola unitaria para producir transformaciones de Lorentz. Este plano numérico posee ejes que corresponden al tiempo y al espacio. Una base alternativa es la base diagonal , que corresponde a las coordenadas del cono de luz.

En un sistema de coordenadas de cono de luz, dos de las coordenadas son con respecto a vectores nulos y todas las demás coordenadas son espaciales. Las primeras se pueden denotar${\displaystyle x^{+}}$y${\displaystyle x^{-}}$y el último${\displaystyle x_{\perp }}$.

Supongamos que estamos trabajando con una signatura lorentziana (d,1).

En lugar del sistema de coordenadas estándar (utilizando la notación de Einstein )

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$,

con${\displaystyle i,j=1,\dots ,d}$tenemos

${\displaystyle ds^{2}=-2dx^{+}dx^{-}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

con${\displaystyle i,j=1,\dots ,d-1}$,${\displaystyle x^{+}={\frac {t+x}{\sqrt {2}}}}$y${\displaystyle x^{-}={\frac {tx}{\sqrt {2}}}}$.

Ambos${\displaystyle x^{+}}$y${\displaystyle x^{-}}$pueden actuar como coordenadas de "tiempo". ^{[ 2 ] : 21}

Una de las ventajas de las coordenadas del cono de luz es que la estructura causal está parcialmente incluida en el propio sistema de coordenadas.

Un impulso en el${\displaystyle (t,x)}$El avión aparece como el mapeo de compresión${\displaystyle x^{+}\to e^{+\beta }x^{+}}$,${\displaystyle x^{-}\to e^{-\beta }x^{-}}$,${\displaystyle x^{i}\to x^{i}}$. Una rotación en el${\displaystyle (i,j)}$-el avión solo afecta${\displaystyle x_{\perp }}$.

Las transformaciones parabólicas aparecen como${\displaystyle x^{+}\to x^{+}}$,${\displaystyle x^{-}\to x^{-}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{+}}$,${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{+}}$Otro conjunto de transformaciones parabólicas aparece como${\displaystyle x^{+}\to x^{+}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{-}}$,${\displaystyle x^{-}\to x^{-}}$y${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{-}}$.

Las coordenadas del cono de luz también pueden generalizarse al espaciotiempo curvo en la relatividad general . En ocasiones, los cálculos se simplifican utilizando coordenadas del cono de luz. Véase el formalismo de Newman-Penrose . Las coordenadas del cono de luz se utilizan a veces para describir colisiones relativistas, especialmente si la velocidad relativa es muy cercana a la velocidad de la luz . También se utilizan en el calibre del cono de luz de la teoría de cuerdas.

Una cuerda cerrada es una generalización de una partícula. La coordenada espacial de un punto en la cuerda se describe convenientemente mediante un parámetro.${\displaystyle \sigma }$que va desde${\displaystyle 0}$a${\displaystyle 2\pi }$El tiempo se describe adecuadamente mediante un parámetro.${\displaystyle \sigma _{0}}$. Asociar cada punto de la cuerda en un espaciotiempo D-dimensional con coordenadas${\displaystyle x_{0},x}$y coordenadas transversales${\displaystyle x_{i},i=2,...,D}$, estas coordenadas desempeñan el papel de campos en un${\displaystyle 1+1}$teoría de campos dimensional. Claramente, para tal teoría se requiere más. Es conveniente emplear en lugar de${\displaystyle x_{0}=\sigma _{0}}$y${\displaystyle x}$, coordenadas del cono de luz${\displaystyle x_{\pm }}$dado por

${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x_{0}\pm x)}$

para que la métrica${\displaystyle ds^{2}}$es dado por

${\displaystyle ds^{2}=2dx_{+}dx_{-}-(dx_{i})^{2}}$

(suma sobre${\displaystyle i}$entendido). Hay cierta libertad de calibre. Primero, podemos establecer${\displaystyle x_{+}=\sigma _{0}}$y tratar este grado de libertad como la variable de tiempo. Una invariancia de reparametrización bajo${\displaystyle \sigma \rightarrow \sigma +\delta \sigma }$se puede imponer con una restricción${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=0}$que obtenemos de la métrica, es decir

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {dx_{-}}{d\sigma }}-{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}=0.}$

De este modo${\displaystyle x_{-}}$ya no es un grado de libertad independiente.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$puede identificarse como la carga de Noether correspondiente . Considere${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}(x_{-},x_{i})}$Luego, con el uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange para${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle x_{-}}$ uno obtiene

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}{\bigg (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}\delta x_{i}+\delta x_{-}{\bigg )}.}$

Igualar esto a

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(Q\delta \sigma ),}$

dónde${\displaystyle Q}$es la carga de Noether, obtenemos:

${\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}=-{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}={\mathcal {L}}_{0}.}$

Este resultado coincide con un resultado citado en la literatura. ^{[ 3 ]}

Para una partícula libre de masa${\displaystyle m}$La acción es

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}d\sigma ,\;\;\;{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}{\bigg [}{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx_{\mu }}{d\sigma }}+m^{2}{\bigg ]}.}$

En coordenadas de cono de luz${\displaystyle {\mathcal {L}}}$se convierte en con${\displaystyle \sigma =x_{+}}$como variable de tiempo:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {dx_{-}}{d\sigma }}+{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\bigg )}^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}.}$

Los momentos canónicos son

${\displaystyle p_{-}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{-}/d\sigma )}}=-1,\;\;\;p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{i}/d\sigma )}}={\frac {dx_{i}}{d\sigma }}.}$

El hamiltoniano es (${\displaystyle \hbar =c=1}$):

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\dot {x}}_{-}p_{-}+{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}p_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2},}$

y las ecuaciones de Hamilton no relativistas implican:

${\displaystyle x_{i}(\sigma )=p_{i}\sigma +{\it {const.}}.}$

Ahora se puede extender esto a una cadena libre.

• Formalismo de Newman-Penrose