Distribución Lévy

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de Lévy , que recibe su nombre de Paul Lévy , es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa . En espectroscopia , esta distribución, con la frecuencia como variable dependiente, se conoce como perfil de van der Waals . ^{[ nota 1 ]} Es un caso especial de la distribución gamma inversa y una distribución estable .

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Lévy sobre el dominio${\displaystyle x\geq \mu }$es

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}$$

dónde${\displaystyle \mu }$es el parámetro de ubicación y${\displaystyle c}$es el parámetro de escala . La función de distribución acumulativa es

$${\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}$$

dónde${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)}$es la función de error complementaria y${\displaystyle \Phi (x)}$es la función de Laplace ( CDF de la distribución normal estándar ). El parámetro de desplazamiento${\displaystyle \mu }$tiene el efecto de desplazar la curva hacia la derecha en una cantidad${\displaystyle \mu }$y cambiando el soporte al intervalo [${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \infty }$). Como todas las distribuciones estables , la distribución de Lévy tiene una forma estándar f ( x ; 0, 1) que tiene la siguiente propiedad:

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}$$

donde y se define como

$${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}$$

La función característica de la distribución de Lévy viene dada por

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$$

Nótese que la función característica también puede escribirse en la misma forma utilizada para la distribución estable con${\displaystyle \alpha =1/2}$y${\displaystyle \beta =1}$:

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}$$

Arrogante${\displaystyle \mu =0}$, el n -ésimo momento de la distribución de Lévy no desplazada se define formalmente por

$${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}$$

que diverge para todos${\displaystyle n\geq 1/2}$, de modo que los momentos enteros de la distribución de Lévy no existen (solo algunos momentos fraccionarios).

La función generadora de momentos se definiría formalmente por

$${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}$$

Sin embargo, esto diverge para${\displaystyle t>0}$y por lo tanto no está definida en un intervalo alrededor de cero, por lo que la función generadora de momentos en realidad no está definida.

Al igual que todas las distribuciones estables , excepto la distribución normal , el ala de la función de densidad de probabilidad exhibe un comportamiento de cola pesada que disminuye según una ley de potencias:

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}}$$como${\displaystyle x\to \infty ,}$

lo que demuestra que la distribución de Lévy no solo tiene colas pesadas , sino también colas gruesas . Esto se ilustra en el diagrama siguiente, en el que se muestran las funciones de densidad de probabilidad para varios valores de c y${\displaystyle \mu =0}$se representan en un gráfico logarítmico doble :

La distribución de Lévy estándar satisface la condición de ser estable :

$${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}$$

dónde${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$son variables de Lévy estándar independientes con${\displaystyle \alpha =1/2.}$

• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$, entonces${\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc).}$
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$, entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}$( distribución gamma inversa ). Aquí, la distribución de Lévy es un caso especial de una distribución de Pearson tipo  V.
• Si${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})}$( distribución normal ), entonces${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2}).}$
• Si${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/c)}$, entonces${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$.
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$, entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Estable} (1/2,1,c,\mu )}$( distribución estable ).
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$, entonces${\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}$( distribución chi-cuadrado inversa escalada ).
• Si${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$, entonces${\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}$( distribución normal plegada ).

Se pueden generar muestras aleatorias de la distribución de Lévy utilizando el muestreo de transformación inversa . Dado un valor aleatorio U extraído de la distribución uniforme en el intervalo unitario (0,  1], el valor aleatorio X viene dado por ^{[ 1 ]}

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }$

es distribuido por Lévy con ubicación${\displaystyle \mu }$y escala${\displaystyle c}$. Aquí${\displaystyle \Phi (x)}$es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar .

• La frecuencia de las inversiones geomagnéticas parece seguir una distribución de Lévy.
• El tiempo de alcanzar un solo punto, a distancia${\displaystyle \alpha }$desde el punto de partida, por el movimiento browniano tiene la distribución de Lévy con${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$(Para un movimiento browniano con deriva, este tiempo puede seguir una distribución gaussiana inversa , que tiene como límite la distribución de Lévy).
• La longitud de la trayectoria seguida por un fotón en un medio turbio sigue la distribución de Lévy. ^{[ 2 ]}
• Un proceso de Cauchy puede definirse como un movimiento browniano subordinado a un proceso asociado con una distribución de Lévy. ^{[ 3 ]}

• "Información sobre distribuciones estables" . Consultado el 5 de septiembre de 2021 .- Introducción de John P. Nolan a las distribuciones estables, algunos artículos sobre leyes de estabilidad y un programa gratuito para calcular densidades estables, funciones de distribución acumulativa, cuantiles, parámetros de estimación, etc. Véase especialmente Introducción a las distribuciones estables, Capítulo 1

• Weisstein, Eric W. "Distribución Lévy" . MundoMatemático .