Ecuaciones para un cuerpo en caída libre

Un conjunto de ecuaciones que describen las trayectorias de objetos sometidos a una fuerza gravitatoria constante en condiciones normales terrestres . Suponiendo una aceleración constante g debida a la gravedad terrestre, la ley de gravitación universal de Newton se simplifica a F = mg , donde F es la fuerza ejercida sobre una masa m por el campo gravitatorio terrestre de intensidad g . Suponer una g constante es razonable para objetos que caen a la Tierra a distancias verticales relativamente cortas, como las que experimentamos a diario, pero no es válido para distancias mayores, como las que se dan al calcular efectos más lejanos, por ejemplo, en las trayectorias de naves espaciales.

Galileo fue el primero en demostrar y luego formular estas ecuaciones. Utilizó una rampa para estudiar bolas rodantes, la cual reducía la aceleración lo suficiente como para medir el tiempo que tardaba la bola en recorrer una distancia conocida. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Midió el tiempo transcurrido con un reloj de agua , utilizando una balanza de gran precisión para medir la cantidad de agua. ^{[ nota 1 ]}

Las ecuaciones no tienen en cuenta la resistencia del aire, que influye drásticamente en los objetos que caen desde una altura considerable, provocando que alcancen rápidamente una velocidad terminal . El efecto de la resistencia del aire varía enormemente según el tamaño y la geometría del objeto en caída ; por ejemplo, las ecuaciones son completamente erróneas para una pluma, que tiene poca masa pero ofrece una gran resistencia al aire. (En ausencia de atmósfera, todos los objetos caen a la misma velocidad, como demostró el astronauta David Scott al dejar caer un martillo y una pluma sobre la superficie de la Luna ).

Las ecuaciones también ignoran la rotación de la Tierra, por lo que no describen el efecto Coriolis, por ejemplo. Sin embargo, suelen ser lo suficientemente precisas para objetos densos y compactos que caen desde alturas que no superan las de las estructuras artificiales más altas.

Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad g  =  9,807  m/s² ⁽ metros por segundo al cuadrado , que podría interpretarse como "metros por segundo al cuadrado"; o 32,18  ft/s² ^como "pies por segundo al cuadrado") aproximadamente. Es esencial un conjunto coherente de unidades para g , d , t y v . Suponiendo unidades del SI , g se mide en metros por segundo al cuadrado, por lo que d debe medirse en metros, t en segundos y v en metros por segundo.

En todos los casos, se supone que el cuerpo parte del reposo y se desprecia la resistencia del aire. Generalmente, en la atmósfera terrestre, todos los resultados que se muestran a continuación serán, por lo tanto, bastante imprecisos después de solo 5 segundos de caída (momento en el que la velocidad de un objeto será un poco menor que el valor en el vacío de 49  m/s  (9,8  m/s² ^×  5  s  ) debido a la resistencia del aire). La resistencia del aire induce una fuerza de arrastre sobre cualquier cuerpo que cae a través de cualquier atmósfera que no sea un vacío perfecto, y esta fuerza de arrastre aumenta con la velocidad hasta que iguala la fuerza gravitatoria, lo que hace que el objeto caiga a una velocidad terminal constante .

La velocidad terminal depende de la resistencia atmosférica, el coeficiente de resistencia del objeto, la velocidad (instantánea) del objeto y el área que se presenta al flujo de aire.

Aparte de la última fórmula, estas fórmulas también suponen que g varía insignificantemente con la altura durante la caída (es decir, suponen una aceleración constante). La última ecuación es más precisa cuando cambios significativos en la distancia fraccional desde el centro del planeta durante la caída provocan cambios significativos en g . Esta ecuación aparece en muchas aplicaciones de la física básica .

Las siguientes ecuaciones parten de las ecuaciones generales del movimiento lineal :

${\displaystyle d(t)=d_{0}+v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}+at}$

y la ecuación de la gravitación universal (r+d = distancia del objeto sobre el suelo desde el centro de masa del planeta):

${\displaystyle F=G{{mM} \over {(r+d)^{2}}}=mg}$

La primera ecuación muestra que, después de un segundo, un objeto habrá caído una distancia de 1/2 × 9,8 × 1/2 ⁼ 4,9 m. Después de dos segundos, habrá caído 1/2 × 9,8 × 2/2 ⁼ 19,6 m; y así sucesivamente. Por otro lado, la penúltima ecuación se vuelve muy imprecisa a grandes distancias. Si un objeto cayera 10 000 m a la Tierra, los resultados de ambas ecuaciones diferirían solo en un 0,08 %; sin embargo, si cayera desde una órbita geoestacionaria , que es de 42 164  km, la diferencia aumentaría a casi un 64 %.

Basándonos en la resistencia del viento, por ejemplo, la velocidad terminal de un paracaidista en caída libre boca abajo es de aproximadamente 195  km/h (122  mph o 54  m/s). ^{[ 3 ]} Esta velocidad es el valor límite asintótico del proceso de aceleración, ya que las fuerzas efectivas sobre el cuerpo se equilibran cada vez más a medida que se aproxima la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50 % de la velocidad terminal en tan solo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90 %, 15 segundos para alcanzar el 99 %, y así sucesivamente.

Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista recoge sus extremidades (véase también vuelo libre ). ^{[ 3 ]} En este caso, la velocidad terminal aumenta a unos 320  km/h (200  mph o 90  m/s), que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino en picada sobre su presa. ^{[ 4 ]} La misma velocidad terminal se alcanza para una bala típica del calibre .30-06 que cae hacia abajo —cuando regresa a la tierra después de haber sido disparada hacia arriba o lanzada desde una torre— según un estudio de la Artillería del Ejército de los EE. UU. de 1920. ^{[ 5 ]}

Para cuerpos astronómicos distintos de la Tierra , y para distancias cortas de caída a un nivel distinto del "suelo", g en las ecuaciones anteriores puede ser reemplazado por${\displaystyle {\frac {G(M+m)}{r^{2}}}}$donde G es la constante gravitacional , M es la masa del cuerpo astronómico, m es la masa del cuerpo en caída libre y r es el radio desde el objeto en caída libre hasta el centro del cuerpo astronómico.

Eliminar la suposición simplificadora de aceleración gravitatoria uniforme proporciona resultados más precisos. Obtenemos de la fórmula para trayectorias elípticas radiales :

El tiempo t que tarda un objeto en caer desde una altura r hasta una altura x , medida desde los centros de los dos cuerpos, viene dado por:

${\displaystyle t={\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}}$

dónde${\displaystyle \mu =G(M+m)}$es la suma de los parámetros gravitacionales estándar de los dos cuerpos. Esta ecuación debe usarse siempre que haya una diferencia significativa en la aceleración gravitacional durante la caída. Tenga en cuenta que cuando${\displaystyle x=r}$esta ecuación da${\displaystyle t=0}$, como se esperaba; y cuando${\displaystyle x=0}$da${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {r^{3}}{2\mu }}}}$, que es el momento de la colisión.

La fuerza centrípeta provoca que la aceleración medida en la superficie giratoria de la Tierra difiera de la aceleración que se mide para un cuerpo en caída libre: la aceleración aparente en el sistema de referencia giratorio es el vector de gravedad total menos un pequeño vector hacia el eje norte-sur de la Tierra, que corresponde a permanecer estacionario en ese sistema de referencia.

• De motu antiquiora y Dos nuevas ciencias (las primeras investigaciones modernas sobre el movimiento de los cuerpos en caída libre)
• Ecuaciones de movimiento
• caída libre
• Gravedad
• Teorema de la velocidad media , fundamento de la ley de la caída de los cuerpos.
• Trayectoria radial

• Calculadora de ecuaciones de caída de cuerpos