función de onda de Laughlin

En física de la materia condensada , la función de onda de Laughlin ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un ansatz , propuesto por Robert Laughlin para el estado fundamental de un gas de electrones bidimensional situado en un campo magnético de fondo uniforme en presencia de un fondo de jellium uniforme cuando el factor de llenado del nivel de Landau más bajo es${\displaystyle \nu =1/n}$dónde${\displaystyle n}$es un número entero positivo impar. Fue construido para explicar la observación de la${\displaystyle \nu =1/3}$efecto Hall cuántico fraccionario (FQHE), y predijo la existencia de efectos Hall cuánticos adicionales${\displaystyle \nu =1/n}$estados así como excitaciones de cuasipartículas con carga eléctrica fraccionaria${\displaystyle e/n}$Ambos fenómenos fueron posteriormente observados experimentalmente. Laughlin recibió un tercio del Premio Nobel de Física en 1998 por este descubrimiento.

Si ignoramos la repulsión de jellium y la repulsión mutua de Coulomb entre los electrones como una aproximación de orden cero, tenemos un nivel de Landau más bajo (LLL) infinitamente degenerado y con un factor de llenado de 1/ n , esperaríamos que todos los electrones se encontraran en el LLL. Al activar las interacciones, podemos hacer la aproximación de que todos los electrones se encuentran en el LLL. Si${\displaystyle \psi _{0}}$es la función de onda de partícula única del estado LLL con el momento angular orbital más bajo , entonces el ansatz de Laughlin para la función de onda de múltiples partículas es

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{1\leqslant i<j\leqslant N}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

donde la posición se denota por

${\displaystyle z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)}$

en ( unidades gaussianas )

${\displaystyle {\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}}$

y${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son coordenadas en el plano x-y. Aquí${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,${\displaystyle e}$es la carga del electrón ,${\displaystyle N}$es el número total de partículas, y${\displaystyle B}$es el campo magnético , que es perpendicular al plano xy. Los subíndices en z identifican la partícula. Para que la función de onda describa fermiones , n debe ser un entero impar. Esto obliga a que la función de onda sea antisimétrica bajo el intercambio de partículas. El momento angular para este estado es${\displaystyle n\hbar }$.

Considerar${\displaystyle n=3}$arriba: resultante${\displaystyle \Psi _{L}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})\propto \Pi _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{3}}$es una función de onda de prueba; no es exacta, pero cualitativamente reproduce muchas características de la solución exacta y cuantitativamente tiene una superposición muy alta con el estado fundamental exacto para sistemas pequeños. Suponiendo la repulsión de Coulomb entre dos electrones cualesquiera, ese estado fundamental${\displaystyle \Psi _{ED}}$se puede determinar usando diagonalización exacta ^{[ 3 ]} y se ha calculado que las superposiciones son cercanas a uno. Además, con interacción de corto alcance (pseudopotenciales de Haldane para${\displaystyle m>3}$establecido a cero), la función de onda de Laughlin se vuelve exacta, ^{[ 4 ]} es decir${\displaystyle \langle \Psi _{ED}|\Psi _{L}\rangle =1}$.

Si bien la función de onda de Laughlin se propuso inicialmente como una aproximación muy exitosa, su papel central en la teoría del efecto Hall cuántico fraccionario fue consolidado por F. Duncan Haldane , quien demostró que es el estado fundamental de energía cero único y exacto de un hamiltoniano "padre" específico. ^{[ 5 ]} Este enfoque reconstruye el hamiltoniano a partir de las propiedades conocidas de la función de onda, proporcionando un marco teórico sólido y un punto de referencia para estudios numéricos.

La construcción se basa en las propiedades de las partículas que interactúan en el nivel de Landau más bajo . En un campo magnético intenso, la energía cinética se anula y la física está dominada por el potencial de interacción. Los estados de dos partículas que interactúan pueden descomponerse en estados de momento angular relativo definido , l . La idea central reside en la estructura de la función de onda de Laughlin misma: debido al factor de Jastrow.${\displaystyle (z_{i}-z_{j})^{m}}$La probabilidad de encontrar dos electrones con un momento angular relativo l menor que m es exactamente cero. La función de onda se construye para mantener las partículas muy separadas de una manera muy específica, codificando correlaciones en los canales de momento angular relativo.

La idea de Haldane era construir un hamiltoniano que penalizara cualquier par de partículas con un momento angular relativo menor que m . Esto se logra utilizando pseudopotenciales de Haldane , que pueden considerarse como una proyección del potencial de interacción sobre estados con un momento angular relativo definido. El hamiltoniano original se construye como una suma de operadores de proyección :

${\displaystyle H_{\text{parent}}=\sum _{i<j}\sum _{l=0}^{m-1}V_{l}P_{ij}(l)}$

dónde:

• La suma se realiza sobre todos los pares de partículas (i,j) .
• ${\displaystyle P_{ij}(l)}$es el operador que proyecta el par (i,j) sobre un estado con momento angular relativo l .
• ${\displaystyle V_{l}}$son coeficientes positivos (${\displaystyle V_{l}>0}$) que representa el costo energético para que un par se encuentre en el l -ésimo canal de momento angular relativo. Para el hamiltoniano padre, solo el${\displaystyle V_{l}}$para${\displaystyle l<m}$deben ser distintos de cero.

Este hamiltoniano es una suma de operadores semidefinidos positivos, por lo que sus autovalores de energía son siempre no negativos. Un estado fundamental con energía cero solo puede existir si es aniquilado por cada término de la suma. Esto significa que la función de onda del estado fundamental |Ψ ₀ ⟩ debe satisfacer:

${\displaystyle P_{ij}(l)|\Psi _{0}\rangle =0\quad {\text{for all pairs }}(i,j){\text{ and all }}l<m}$

El estado de Laughlin ν = 1/m , por su propia construcción, satisface perfectamente esta condición. No contiene componentes donde ningún par de partículas tenga un momento angular relativo menor que m . Por lo tanto, el estado de Laughlin es un autoestado exacto de energía cero de este hamiltoniano padre. Además, para un número dado de partículas, se puede demostrar que el estado de Laughlin es el único estado más denso (es decir, el estado con la mayor cantidad de partículas por unidad de flujo magnético) que satisface este conjunto de condiciones. ^{[ 5 ]} Esto lo convierte en el único estado fundamental de este hamiltoniano idealizado.

Este formalismo es extremadamente potente. Demuestra que existe un hamiltoniano local para el cual el estado de Laughlin es el estado fundamental exacto, lo que consolida su relevancia física. También proporciona una herramienta crucial para estudios de diagonalización exacta . El estado fundamental de una interacción más realista, como el potencial de Coulomb, puede calcularse numéricamente y su solapamiento con el estado ideal de Laughlin puede determinarse. Un solapamiento amplio indica que el estado de Laughlin es una excelente aproximación al verdadero estado fundamental del sistema. ^{[ 6 ]}

La función de onda de Laughlin es la función de onda de múltiples partículas para cuasipartículas . El valor esperado de la energía de interacción para un par de cuasipartículas es

${\displaystyle \langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2}$

donde el potencial apantallado es (véase Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales §  Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético )

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

dónde${\displaystyle M}$es una función hipergeométrica confluente y${\displaystyle {\mathcal {J}}_{0}}$es una función de Bessel de primera especie. Aquí,${\displaystyle r_{12}}$es la distancia entre los centros de dos bucles de corriente,${\displaystyle e}$es la magnitud de la carga del electrón ,${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$es la versión cuántica del radio de Larmor y${\displaystyle L_{B}}$es el espesor del gas de electrones en la dirección del campo magnético. Los momentos angulares de los dos bucles de corriente individuales son${\displaystyle {\mathit {l}}\hbar }$y${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\hbar }$dónde${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n}$. La longitud de apantallamiento inversa viene dada por ( unidades gaussianas )

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}}$

dónde${\displaystyle \omega _{c}}$es la frecuencia ciclotrónica y${\displaystyle A}$es el área del gas de electrones en el plano xy.

La energía de interacción se evalúa como:

Para obtener este resultado hemos realizado el cambio de variables de integración.

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

y

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

y señaló (véase Integrales comunes en la teoría cuántica de campos )

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).}$

La energía de interacción tiene mínimos para (Figura 1)

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

y

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

Para estos valores de la relación de momentos angulares, la energía se representa en la Figura 2 en función de${\displaystyle n}$.

• Nivel Landau
• Efecto Hall cuántico fraccional
• Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético.