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Integrales comunes en la teoría cuántica de campos.

Las integrales comunes en la teoría cuántica de campos son un conjunto de fórmulas útiles para el cálculo de diversos tipos en dicha teoría, como la función de partición, las in...

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Las integrales comunes en la teoría cuántica de campos son un conjunto de fórmulas útiles para el cálculo de diversos tipos en dicha teoría, como la función de partición, las integrales de diagramas de bucle, etc.

Integrales gaussianas

Las siguientes integrales gaussianas son útiles para calcular integrales de trayectoria que aparecen en la formulación de integrales de trayectoria de la teoría cuántica de campos: [ 1 ] [ 2 ]∫−∞∞mi−12aincógnita2+Jincógnitadincógnita=(2πa)1/2exp⁡(J22a),a,J∈do,Re⁡(a)>0∫−∞∞exp⁡(i(12(a+iε)incógnita2+Jincógnita))dincógnita=(2πia+iε)1/2exp⁡(−i2J2a+iε),a,J,ε∈R,ε→0+∫exp⁡(∑i,j=1norte−12incógnitaiAijincógnitaj+Jiincógnitai)dnorteincógnita=(2π)nortedetAexp⁡(12∑i,j=1norteJiAij−1Jj),A,J∈R,Aij=Aji definido positivo∫exp⁡(i(∑i,j=1norte12incógnitai(A+iεI)ijincógnitaj+Jiincógnitai))dnorteincógnita=(2π)nortedet(A+iεI)exp⁡(−i2∑i,j=1norteJi(A+iεI)ij−1Jj),A,J,ε∈R,Aij=Aji,ε→0+{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}+Jx}\,dx&=\left({2\pi \over a}\right)^{1/2}\exp \left({J^{2} \over 2a}\right),&a,J\in \mathbb {C} ,\,\operatorname {Re} (a)>0\\\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(i\left({\frac {1}{2}}(a+i\varepsilon )x^{2}+Jx\right)\right)dx&=\left({2\pi i \over a+i\varepsilon }\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {i}{2}}{J^{2} \over a+i\varepsilon }\right),&a,J,\varepsilon \in \mathbb {R} ,\,\varepsilon \rightarrow 0^{+}\\\int \exp \left(\sum _{i,j=1}^{n}-{\frac {1}{2}}x_{i}A_{ij}x_{j}+J_{i}x_{i}\right)d^{n}x&={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}\sum _{i,j=1}^{n}J_{i}A_{ij}^{-1}J_{j}\right),&A,J\in \mathbb {R} ,\,A_{ij}=A_{ji}{\text{ positive definite}}\\\int \exp \left(i\left(\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {1}{2}}x_{i}(A+i\varepsilon I)_{ij}x_{j}+J_{i}x_{i}\right)\right)d^{n}x&={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {(A+i\varepsilon I)}}}}\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}J_{i}(A+i\varepsilon I)_{ij}^{-1}J_{j}\right),&A,J,\varepsilon \in \mathbb {R} ,\,A_{ij}=A_{ji},\,\varepsilon \rightarrow 0^{+}\\\end{aligned}}}

Integrales con operadores diferenciales en el argumento

Como ejemplo, considérese la integral [ 3 ] : 21‒22∫exp⁡[∫d4incógnita(−12φA^φ+Jφ)]Dφ{\displaystyle \int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi } dóndeA^{\displaystyle {\hat {A}}}es un operador diferencial hermitiano con espectros positivos para la convergencia,φ{\displaystyle \varphi }y funciones J del espacio-tiempo , yDφ{\displaystyle D\varphi }indica la integración sobre todas las trayectorias posibles. En analogía con la versión matricial de esta integral, la solución es ∫exp⁡[∫d4incógnita(−12φA^φ+Jφ)]Dφ∝exp⁡(12∫d4incógnitad4yJ(incógnita)D(incógnita−y)J(y)){\displaystyle \int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left({1 \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)\right)} dónde A^D(incógnita−y)=δ4(incógnita−y){\displaystyle {\hat {A}}D(x-y)=\delta ^{4}(x-y)} y D ( x − y ) , llamado propagador , es el inverso deA^{\displaystyle {\hat {A}}}, yδ4(incógnita−y){\displaystyle \delta ^{4}(x-y)}es la función delta de Dirac .

Argumentos similares dan como resultadoA^{\displaystyle {\hat {A}}}Operador diferencial hermitiano de cualquier espectro, donde elε→0+{\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0^{+}}La prescripción, denominada prescripción de Feynman, se trata por separado en el último paso de todos los cálculos. ∫exp⁡[i∫d4incógnita(12φ(A^+iε)φ+Jφ)]Dφ∝exp⁡(−i2∫d4incógnitad4yJ(incógnita)Dε(incógnita−y)J(y)).{\displaystyle \int \exp \left[i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\varphi ({\hat {A}}+i\varepsilon )\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left(-{i \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D_{\varepsilon }(x-y)J(y)\right).}

Consulte la formulación de integral de trayectoria del intercambio de partículas virtuales para ver una aplicación de esta integral.

No es necesariamente cierto que el operador diferencial tenga propiedades espectrales apropiadas, por ejemplo,A^=∂μ∂μ{\displaystyle {\hat {A}}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }}, tiene autovalores nulos, no es invertible y, por lo tanto, su propagador no está determinado de forma única. Sin embargo, la adición de una pequeña parte complejaiε{\displaystyle i\varepsilon }elimina cualquier autovalor nulo ya que el espectro es necesariamente complejo, lo que hace que el operador sea nuevamente invertible. Estos casos también pueden tratarse mediante la redefinición de campos y la imposición de la condición de contorno apropiada, lo que es equivalente al método de Feynman.iε{\displaystyle i\varepsilon }prescripción, que también es equivalente a continuar analíticamente a la teoría euclidiana y continuar de vuelta después de los cálculos usando rotaciones de Wick en una dirección particular. [ 2 ] [ 4 ]

Aproximación integral mediante el método del descenso más pronunciado

En la teoría cuántica de campos, las integrales n-dimensionales de la forma ∫−∞∞exp⁡(−1ℏF(q))dnorteq{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over \hbar }f(q)\right)d^{n}q} aparecen a menudo. Aquíℏ{\displaystyle \hbar }es la constante de Planck reducida y f es una función con un mínimo positivo enq=q0{\displaystyle q=q_{0}}Estas integrales pueden aproximarse mediante el método del descenso más pronunciado .

Para valores pequeños de la constante de Planck, f puede expandirse alrededor de su mínimo. ∫−∞∞exp⁡[−1ℏ(F(q0)+12(q−q0)2F′′(q−q0)+⋯)]dnorteq.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)+{1 \over 2}\left(q-q_{0}\right)^{2}f^{\prime \prime }\left(q-q_{0}\right)+\cdots \right)\right]d^{n}q.}AquíF′′{\displaystyle f^{\prime \prime }}es la matriz n por n de segundas derivadas evaluada en el mínimo de la función.

Si despreciamos los términos de orden superior, esta integral se puede integrar explícitamente. ∫−∞∞exp⁡[−1ℏ(F(q))]dnorteq≈exp⁡[−1ℏ(F(q0))](2πℏ)nortedetF′′.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }(f(q))\right]d^{n}q\approx \exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)\right)\right]{\sqrt {(2\pi \hbar )^{n} \over \det f^{\prime \prime }}}.}

Aproximación integral mediante el método de fase estacionaria

Una integral común es una integral de trayectoria de la forma ∫exp⁡(iℏS(q,q˙))Dq{\displaystyle \int \exp \left({i \over \hbar }S\left(q,{\dot {q}}\right)\right)Dq} dóndeS(q,q˙){\displaystyle S\left(q,{\dot {q}}\right)}es la acción clásica y la integral se extiende sobre todos los caminos posibles que puede tomar una partícula. En el límite de pequeñoℏ{\displaystyle \hbar }La integral puede evaluarse en la aproximación de fase estacionaria . En esta aproximación, la integral se calcula sobre la trayectoria en la que la acción es mínima. Por lo tanto, esta aproximación recupera el límite clásico de la mecánica .

integrales de Fourier

distribución delta de Dirac

La distribución delta de Dirac en el espacio-tiempo se puede escribir como una transformada de Fourier [ 3 ] : 23∫d4k(2π)4exp⁡(ik(incógnita−y))=δ4(incógnita−y).{\displaystyle \int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\exp(ik(x-y))=\delta ^{4}(x-y).}En general, para cualquier dimensiónnorte{\displaystyle N}∫dnortek(2π)norteexp⁡(ik(incógnita−y))=δnorte(incógnita−y).{\displaystyle \int {\frac {d^{N}k}{(2\pi )^{N}}}\exp(ik(x-y))=\delta ^{N}(x-y).}

Integrales de Fourier para encontrar potencial efectivo

Identificación de resultados de dispersión elástica dos a dos de la teoría cuántica de campos con los resultados de la primera aproximación de Born de la mecánica cuántica en la relaciónMETROel.(pagi→pagF)=V(q=pagF−pagi){\textstyle M_{\text{el.}}(p_{i}\rightarrow p_{f})=V(q=p_{f}-p_{i})}donde la partícula incidente sufre dispersión elástica, es decirpagi0=pagF0{\textstyle p_{i}^{0}=p_{f}^{0}}frente a una partícula estática pesada. Por lo tanto, la forma del potencial se encuentra mediante la transformada de Fourier, que es la inversa de Fourier del propagador de la partícula de intercambio virtual en el nivel de árbol.

Laplaciano de 1/ r

Si bien no es una integral, la identidad en el espacio euclidiano tridimensional−14π∇2(1r)=δ(r){\displaystyle -{1 \over 4\pi }\nabla ^{2}\left({1 \over r}\right)=\delta \left(\mathbf {r} \right)}dónder2=r⋅r{\textstyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} }, es una consecuencia del teorema de Gauss y puede utilizarse para derivar identidades integrales. Para un ejemplo, véase Campos vectoriales longitudinales y transversales .

Esta identidad implica que la representación integral de Fourier de 1/ r es ∫d3k(2π)3exp⁡(ik⋅r)k2=14πr.{\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}}={1 \over 4\pi r}.}

Potencial de Yukawa: el potencial de Coulomb con masa

El potencial de Yukawa en tres dimensiones puede representarse como una integral sobre una transformada de Fourier [ 3 ] : 26, 29∫d3k(2π)3exp⁡(ik⋅r)k2+metro2=mi−metror4πr{\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}+m^{2}}={e^{-mr} \over 4\pi r}} dónder2=r⋅r,k2=k⋅k{\textstyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ,\,k^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }.

Consulte Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales para una aplicación de esta integral. En el límite de m pequeño, la integral se reduce a ⁠ 1 / 4 πr ⁠ .

Potencial de Coulomb modificado con masa

∫d3k(2π)3(k^⋅r^)2exp⁡(ik⋅r)k2+metro2=mi−metror4πr[1+2metror−2(metror)2(mimetror−1)]{\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {r}} \right)^{2}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left[1+{\frac {2}{mr}}-{\frac {2}{(mr)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)\right]} donde el sombrero indica un vector unitario en el espacio tridimensional.

Nótese que en el límite de m pequeño la integral tiende al resultado para el potencial de Coulomb ya que el término entre paréntesis tiende a 1 .

Potencial longitudinal con masa

∫d3k(2π)3k^k^exp⁡(ik⋅r)k2+metro2=12mi−metror4πr([1−r^r^]+{1+2metror−2(metror)2(mimetror−1)}[1+r^r^]){\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} {\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left(\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right)} donde el sombrero indica un vector unitario en el espacio tridimensional. Nótese que en el límite de m pequeño la integral se reduce a 1214πr[1−r^r^].{\displaystyle {1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].}

Potencial transversal con masa

∫d3k(2π)3[1−k^k^]exp⁡(ik⋅r)k2+metro2=12mi−metror4πr{2(metror)2(mimetror−1)−2metror}[1+r^r^]{\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}+m^{2}}={1 \over 2}{e^{-mr} \over 4\pi r}\left\{{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)-{2 \over mr}\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]}

En el límite mr pequeño la integral va a 1214πr[1+r^r^].{\displaystyle {1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].}Para grandes distancias, la integral disminuye como el inverso del cubo de r.14πmetro2r3[1+r^r^].{\displaystyle {\frac {1}{4\pi m^{2}r^{3}}}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].}Para aplicaciones de esta integral, véase Lagrangiano de Darwin e Interacción de Darwin en el vacío .

Integración angular en coordenadas cilíndricas

Hay dos integrales importantes. La integración angular de una exponencial en coordenadas cilíndricas se puede escribir en términos de funciones de Bessel de primer tipo [ 5 ] [ 6 ] : 113∫02πdφ2πexp⁡(ipagporque⁡(φ))=J0(pag){\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)=J_{0}(p)} y ∫02πdφ2πporque⁡(φ)exp⁡(ipagporque⁡(φ))=iJ1(pag).{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\cos(\varphi )\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)=iJ_{1}(p).}

Para aplicaciones de estas integrales, consulte Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones .

Integrales utilizadas en la evaluación de bucles

La siguiente es una redefinición útil que se utiliza en los cálculos:

1a0a1a2⋯anorte=Γ(norte+1)∫01dz1∫0z1dz2⋯∫0znorte−1dznorte1[a0+(a1−a0)z1+⋯(anorte−anorte−1)znorte]norte+1{\displaystyle {\frac {1}{a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}=\Gamma (n+1)\int _{0}^{1}{d}z_{1}\int _{0}^{z_{1}}{d}z_{2}\cdots \int _{0}^{z_{n-1}}{d}z_{n}{\frac {1}{[a_{0}+(a_{1}-a_{0})z_{1}+\cdots (a_{n}-a_{n-1})z_{n}]^{n+1}}}}

donde es posible aumentar las potencias en el denominador1a⋯→1ak⋯{\textstyle {\frac {1}{a\cdots }}\rightarrow {\frac {1}{a^{k}\cdots }}}operando1(k−1)¡(−∂∂a)k−1{\textstyle {\frac {1}{(k-1)!}}\left(-{\frac {\partial }{\partial a}}\right)^{k-1}}a ambos lados.

1A1α1⋯Anorteαnorte=Γ(α1+⋯+αnorte)Γ(α1)⋯Γ(αnorte)∫01dnorteincógnita1δ(1−∑k=1norteincógnitak)incógnita1α1−1⋯incógnitanorteαnorte−1(∑k=1norteincógnitakAk)∑k=1norteαk{\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}d^{n}x_{1}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}x_{k})\;x_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}}

Esto se conoce como parametrización de Feynman .

Las siguientes integrales son resultados comúnmente utilizados en el cálculo de integrales de bucle en la regularización de corte, donde se utiliza el producto escalar de Minkowski entre vectores ylímiteϵ→0+{\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}}se evalúa: [ 2 ]∫d4k1(k2−s+iε)norte=iπ2(−1)norteΓ(norte−2)Γ(norte)1snorte−2,norte≥3,∫d4kkμ(k2−s+iε)norte=0,norte≥3,∫d4kkμkν(k2−s+iε)norte=iπ2(−1)norte+1Γ(norte−3)2Γ(norte)gramoμνsnorte−3,norte≥4,∫d4pag1(pag2+2pagq+t+iε)norte=iπ2Γ(norte−2)Γ(norte)1(t−q2)norte−2,norte≥3,∫d4pagpagμ(pag2+2pagq+t+iε)norte=−iπ2Γ(norte−2)Γ(norte)qμ(t−q2)norte−2,norte≥3,∫d4pagpagμpagν(pag2+2pagq+t+iε)norte=iπ2Γ(norte−3)2Γ(norte)[2(norte−3)qμqν+(t−q2)gramoμν](t−q2)norte−2,norte≥4.{\displaystyle {\begin{aligned}\int {d}^{4}k{\frac {1}{\left(k^{2}-s+i\varepsilon \right)^{n}}}&=i\pi ^{2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-2)}{\Gamma (n)}}{\frac {1}{s^{n-2}}},&n\geq 3,\\\int {d}^{4}k{\frac {k^{\mu }}{\left(k^{2}-s+i\varepsilon \right)^{n}}}&=0,&n\geq 3,\\\int {d}^{4}k{\frac {k^{\mu }k^{\nu }}{(k^{2}-s+{i}\varepsilon )^{n}}}&={i}\pi ^{2}(-1)^{n+1}{\frac {\Gamma (n-3)}{2\Gamma (n)}}{\frac {g^{\mu \nu }}{s^{n-3}}},&n\geq 4,\\\int {d}^{4}p{\frac {1}{(p^{2}+2pq+t+{i}\varepsilon )^{n}}}&={i}\pi ^{2}{\frac {\Gamma (n-2)}{\Gamma (n)}}{\frac {1}{(t-q^{2})^{n-2}}},&n\geq 3,\\\int {d}^{4}p{\frac {p^{\mu }}{(p^{2}+2pq+t+{i}\varepsilon )^{n}}}&=-{i}\pi ^{2}{\frac {\Gamma (n-2)}{\Gamma (n)}}{\frac {q^{\mu }}{(t-q^{2})^{n-2}}},&n\geq 3,\\\int {d}^{4}p{\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{(p^{2}+2pq+t+{i}\varepsilon )^{n}}}&={i}\pi ^{2}{\frac {\Gamma (n-3)}{2\Gamma (n)}}{\frac {[2(n-3)q^{\mu }q^{\nu }+(t-q^{2})g^{\mu \nu }]}{(t-q^{2})^{n-2}}},&n\geq 4.\end{aligned}}}

Un conjunto similar de relaciones se utiliza en la regularización dimensional de la siguiente manera, dondenorte>D/2{\displaystyle n>D/2}ylímiteϵ→0+{\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}}se evalúa: [ 7 ]∫dDk(k2−s+iε)norte=iπD/2(−1)norteΓ(norte−D/2)Γ(norte)1snorte−D/2,∫dDkkμ(k2−s+iε)norte=0,∫dDkkμkν(k2−s+iε)norte=iπD/2(−1)norte+1Γ(norte−D/2−1)2Γ(norte)gramoμνsnorte−D/2−1,∫dDkk2(k2−s+iε)norte=iπD/2(−1)norte+1Γ(norte−D/2−1)2Γ(norte)Dsnorte−D/2−1,∫dDk(k2)2(k2−s+iε)norte=iπD/2(−1)norteΓ(norte−D/2−1)4Γ(norte)D(D+2)snorte−D/2−1,∫dDkkμkνkρkσ(k2−s+iε)norte=iπD/2(−1)norteΓ(norte−D/2−1)4Γ(norte)[gramoμνgramoρσ+gramoμρgramoνσ+gramoμσgramoνρ]snorte−D/2−1.{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {{d}^{D}k}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-D/2)}{\Gamma (n)}}{\frac {1}{s^{n-D/2}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{\mu }}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&=0,\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{\mu }k^{\nu }}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n+1}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{2\Gamma (n)}}{\frac {g^{\mu \nu }}{s^{n-D/2-1}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{2}}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n+1}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{2\Gamma (n)}}{\frac {D}{s^{n-D/2-1}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {(k^{2})^{2}}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{4\Gamma (n)}}{\frac {D(D+2)}{s^{n-D/2-1}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{\mu }k^{\nu }k^{\rho }k^{\sigma }}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{4\Gamma (n)}}{\frac {[g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }+g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }+g^{\mu \sigma }g^{\nu \rho }]}{s^{n-D/2-1}}}.\end{aligned}}}

funciones de Bessel

Integración del propagador cilíndrico con masa

Primera potencia de una función de Bessel

∫0∞kdkk2+metro2J0(kr)=K0(metror).{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{0}\left(kr\right)=K_{0}(mr).}

Véase Abramowitz y Stegun . [ 8 ] : §11.4.44

Parametror≪1{\displaystyle mr\ll 1}, tenemos [ 6 ] : 116K0(metror)→−ln⁡(metror2)+0,5772.{\displaystyle K_{0}(mr)\to -\ln \left({mr \over 2}\right)+0.5772.}

Para una aplicación de esta integral, véase Dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones .

Cuadrados de funciones de Bessel

La integración del propagador en coordenadas cilíndricas es [ 5 ]∫0∞kdkk2+metro2J12(kr)=I1(metror)K1(metror).{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)=I_{1}(mr)K_{1}(mr).}

Para mr pequeño la integral se convierte en ∫o∞kdkk2+metro2J12(kr)→12[1−18(metror)2].{\displaystyle \int _{o}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \over 2}\left[1-{1 \over 8}(mr)^{2}\right].}

Para mr grande la integral se convierte en ∫o∞kdkk2+metro2J12(kr)→12(1metror).{\displaystyle \int _{o}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \over 2}\left({1 \over mr}\right).}

Para aplicaciones de esta integral, consulte Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones .

En general, ∫0∞kdkk2+metro2Jν2(kr)=Iν(metror)Kν(metror)ℜ(ν)>−1.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{\nu }^{2}(kr)=I_{\nu }(mr)K_{\nu }(mr)\qquad \Re (\nu )>-1.}

Integración sobre una función de onda magnética

La integral bidimensional sobre una función de onda magnética es [ 8 ] : §11.4.282a2norte+2norte¡∫0∞drr2norte+1exp⁡(−a2r2)J0(kr)=METRO(norte+1,1,−k24a2).{\displaystyle {2a^{2n+2} \over n!}\int _{0}^{\infty }{dr}\;r^{2n+1}\exp \left(-a^{2}r^{2}\right)J_{0}(kr)=M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 4a^{2}}\right).}

Aquí, M es una función hipergeométrica confluente . Para una aplicación de esta integral, véase Densidad de carga distribuida sobre una función de onda .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Frederick W. Byron y Robert W. Fuller (1969). Matemáticas de la física clásica y cuántica . Addison-Wesley. ISBN 0-201-00746-0.
  2. 1 2 3 Williams, Anthony G. (2023). Introducción a la teoría cuántica de campos: de la mecánica clásica a las teorías de campos de gauge . Cambridge, Reino Unido ; Nueva York, NY: Cambridge University Press. ISBN  978-1-108-47090-2.
  3. 1 2 3 A. Zee (2003). Teoría cuántica de campos en pocas palabras . Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01019-6.
  4. ↑ Năstase, Horațiu (2020). Introducción a la teoría cuántica de campos . Cambridge, Reino Unido ; Nueva York, NY: Cambridge University Press. ISBN  978-1-108-49399-4.
  5. ^ Gradshteyn , Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 . 
  6. 1 2 Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. ISBN  0-471-30932-X.
  7. ↑ Mandl, Franz; Shaw, Graham (2011). Teoría cuántica de campos (2.ª ed., reimpresión con corrección ). Chichester: Wiley. ISBN  978-0-471-49684-7.
  8. 1 2 M. Abramowitz; I. Stegun (1965). Manual de funciones matemáticas . Dover. ISBN 0486-61272-4.