Corrección de Langer

Al aplicar el método de aproximación WKB a la ecuación de Schrödinger radial , $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+[E-V_{\textrm {eff}}(r)]R(r)=0,}$$ donde el potencial efectivo viene dado por $${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}\ell (\ell +1)}{2mr^{2}}}}$$ (${\displaystyle \ell }$el número cuántico azimutal relacionado con el operador de momento angular ), las autoenergías y el comportamiento de la función de onda obtenidos son diferentes de la solución real.

En 1937, Rudolf E. Langer sugirió una corrección. $${\displaystyle \ell (\ell +1)\rightarrow \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$$ lo cual se conoce como corrección de Langer o reemplazo de Langer . Esta manipulación es equivalente a insertar un factor constante de 1/4 siempre que${\displaystyle \ell (\ell +1)}$aparece. Heurísticamente, se dice que este factor surge porque el rango de la ecuación de Schrödinger radial está restringido de 0 a infinito, a diferencia de toda la recta real. Mediante tal cambio del término constante en el potencial efectivo, los resultados obtenidos por la aproximación WKB reproducen el espectro exacto para muchos potenciales. Que la sustitución de Langer es correcta se deduce del cálculo WKB de los autovalores de Coulomb con la sustitución que reproduce el resultado bien conocido. ^{[ 2 ]}

Tenga en cuenta que para los sistemas 2D, el potencial efectivo toma la forma $${\displaystyle V_{\textrm {eff}}(r)=V(r)-{\frac {\hbar ^{2}(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}})}{2mr^{2}}},}$$ La corrección de Langer dice: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \left(\ell ^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\rightarrow \ell ^{2}.}$$ Esta manipulación también es equivalente a insertar un factor constante de 1/4 siempre que${\displaystyle \ell ^{2}}$aparece.