Las cimas de Lagrange, Euler y Kovalevskaya

Leonhard Euler

José Luis Lagrange

Sofía Vasilyevna Kovalevskaya

En mecánica clásica , la rotación de un cuerpo rígido como una peonza bajo la influencia de la gravedad no es, en general, un problema integrable . Sin embargo, hay tres casos famosos que son integrables: la peonza de Euler , la de Lagrange y la de Kovalevskaya , que son de hecho los únicos casos integrables cuando el sistema está sujeto a restricciones holonómicas . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Además de la energía, cada una de estas peonzas involucra dos constantes de movimiento adicionales que dan lugar a la integrabilidad .

El trompo de Euler describe un trompo libre sin ninguna simetría particular que se mueve en ausencia de cualquier torque externo , y para el cual el punto fijo es el centro de gravedad . El trompo de Lagrange es un trompo simétrico, en el que dos momentos de inercia son iguales y el centro de gravedad se encuentra en el eje de simetría . El trompo de Kovalevskaya ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} es un trompo simétrico especial con una relación única de los momentos de inercia que satisface la relación

${\ Displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 2I_ {3},}$

Es decir, dos momentos de inercia son iguales, el tercero es la mitad de grande y el centro de gravedad se encuentra en el plano perpendicular al eje de simetría (paralelo al plano de los dos ejes principales degenerados).

La configuración de una peonza clásica ^{[ 7 ]} se describe en el momento${\displaystyle t}$por tres ejes principales dependientes del tiempo , definidos por los tres vectores ortogonales${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}^{1}}$,${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}^{2}}$y ${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {e} }}^{3}}$con momentos de inercia correspondientes${\displaystyle I_{1}}$,${\displaystyle I_{2}}$y${\displaystyle I_{3}}$y la velocidad angular alrededor de esos ejes. En una formulación hamiltoniana de trompos clásicos, las variables dinámicas conjugadas son las componentes del vector de momento angular.${\displaystyle {\bf {L}}}$a lo largo de los ejes principales

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

y las componentes z de los tres ejes principales,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

Las relaciones de corchetes de Poisson de estas variables vienen dadas por

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Si la posición del centro de masa viene dada por${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$, entonces el hamiltoniano de un trompo viene dado por

${\displaystyle H={\frac {(\ell _ {1})^{2}}{2I_ {1}}}+{\frac {(\ell _ {2})^{2}}{2I_ {2}}}+{\frac {(\ell _ {3})^{2}}{2I_ {3}}}}+mg(an_ {1}+bn_ {2}+cn_ {3}) = {\ frac {(\ el _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

Las ecuaciones de movimiento se determinan entonces mediante

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

Explícitamente, estos son $${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$$${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$ y permutaciones cíclicas de los índices.

El trompo de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler , es un trompo sin torsión (por ejemplo, un trompo en caída libre), con Hamiltoniano

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía${\displaystyle H_{\rm {E}}}$y los tres componentes del momento angular en el sistema de referencia del laboratorio,

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

La peonza de Lagrange, ^{[ 8 ]} llamada así en honor a Joseph-Louis Lagrange , es una peonza simétrica con el centro de masa a lo largo del eje de simetría en la ubicación,${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$, con hamiltoniano

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía${\displaystyle H_{\rm {L}}}$, el componente de momento angular a lo largo del eje de simetría,${\displaystyle \ell _{3}}$, el momento angular en la dirección z

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del vector n

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

El trompo de Kovalevskaya ^{[ 4 ] [ 6 ]} es un trompo simétrico en el que${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$,${\displaystyle I_{3}=I}$y el centro de masa se encuentra en el plano perpendicular al eje de simetría.${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$Fue descubierto por Sofia Kovalevskaya en 1888 y presentado en su artículo "Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe", que ganó el Premio Bordin de la Academia Francesa de Ciencias en 1888. El hamiltoniano es

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Las cuatro constantes del movimiento son la energía${\displaystyle H_{\rm {K}}}$, la invariante de Kovalevskaya

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

donde las variables${\displaystyle \xi _{\pm }}$se definen por

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

el componente de momento angular en la dirección z ,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

y la magnitud del vector n

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

Si se relajan las restricciones para permitir restricciones no holonómicas , existen otros tops integrables posibles además de los tres casos bien conocidos. El top no holonómico de Goryachev-Chaplygin (introducido por D. Goryachev en 1900 ^{[ 9 ]} e integrado por Sergey Chaplygin en 1948 ^{[ 10 ] [ 11 ]} ) también es integrable (${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$). Su centro de gravedad se encuentra en el plano ecuatorial . ^{[ 12 ]}

• Suspensión cardán

• Top de Kovalevskaya – del libro El mundo de la física de Eric Weisstein
• Kovalevskaya Top