Función lagunar

En análisis , una función o serie lacunar es una función analítica que no puede continuarse analíticamente fuera del radio de convergencia dentro del cual se define mediante una serie de potencias . La palabra lacunar deriva de laguna ( plural: lagunas), que significa hueco o vacío.

Los primeros ejemplos de funciones lacunares involucraban series de Taylor con grandes huecos, o lagunas, entre los coeficientes no nulos de sus expansiones. Investigaciones más recientes examinan series de Fourier con huecos similares entre coeficientes no nulos. En el uso moderno, una serie lacunar puede ser tanto una serie de Taylor como una serie de Fourier.

Elige un número entero${\displaystyle a\geq 2}$Consideremos la siguiente función definida por una serie de potencias:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,}$

La serie de potencias converge localmente de forma uniforme en cualquier dominio abierto | z | < 1. Esto se puede demostrar comparando f con la serie geométrica , que converge absolutamente cuando | z | < 1. Por lo tanto , f es analítica en el disco unitario abierto . Sin embargo, f presenta singularidades densas en el círculo unitario y no puede continuarse analíticamente fuera del disco unitario abierto, como demuestra el siguiente argumento.

Claramente f tiene una singularidad en z = 1, porque

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

es una serie divergente . Pero si se permite que z sea no real, surgen problemas, ya que

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

Podemos observar que f tiene una singularidad en un punto z cuando z ^a = 1, y también cuando z ^{a 2} = 1. Por inducción sugerida por las ecuaciones anteriores, f debe tener una singularidad en cada una de las raíces n-ésimas de la unidad para ^todos los números naturales n. El conjunto de todas estas singularidades es denso en el círculo unitario; por lo tanto, es imposible definir f en cualquier conjunto abierto que contenga el círculo unitario, lo que también imposibilita la continuación analítica. ^{[ 1 ]}

El argumento anterior demuestra que ciertas series definen funciones lacunares. Lo que no resulta tan evidente es que las diferencias entre las potencias de z pueden crecer mucho más lentamente, y la serie resultante seguirá definiendo una función lacunar. Para precisar este concepto, se requiere una notación adicional.

Escribimos

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,}$

donde b _n = a _k cuando n = λ _k , y b _n  =  0 en caso contrario. Los tramos donde los coeficientes b _n en la segunda serie son todos cero son las lagunas en los coeficientes. La secuencia monótonamente creciente de números naturales positivos { λ _k } especifica las potencias de z que están en la serie de potencias para f ( z ).

Ahora se puede enunciar un teorema de Hadamard . ^{[ 2 ]} Si

${\displaystyle {\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,}$

Para todo k , donde δ > 0 es una constante positiva arbitraria, entonces f ( z ) es una función lacunar que no puede continuarse fuera de su círculo de convergencia. En otras palabras, la sucesión { λ _k } no tiene que crecer tan rápido como 2 ^k para que f ( z ) sea una función lacunar ; solo tiene que crecer tan rápido como una progresión geométrica (1  + δ ) ^k . Se dice que una serie para la cual λ _k crece tan rápidamente contiene brechas de Hadamard . Véase el teorema de la brecha de Ostrowski-Hadamard . 

Los matemáticos también han investigado las propiedades de las series trigonométricas lacunares.

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }a_ {k}\cos(\lambda _ {k}\theta +\omega )\,}$

para los cuales los λ _k están muy separados. Aquí los coeficientes a _k son números reales. En este contexto, la atención se ha centrado en criterios suficientes para garantizar la convergencia de la serie trigonométrica casi en todas partes (es decir, para casi cualquier valor del ángulo θ y del factor de distorsión ω ).

• Kolmogorov demostró que si la secuencia { λ _k } contiene huecos de Hadamard, entonces la serie S ( λ _k , θ , ω ) converge (diverge) casi en todas partes cuando  

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}}$

converge (diverge).

• Zygmund demostró bajo la misma condición que S ( λ _k , θ , ω ) no es una serie de Fourier que represente una función integrable cuando esta suma de cuadrados de los a _k es una serie divergente. ^{[ 3 ]}  

Se puede obtener una mayor comprensión de la cuestión subyacente que motiva la investigación de las series de potencias lacunares y las series trigonométricas lacunares reexaminando el ejemplo simple anterior. En ese ejemplo utilizamos la serie geométrica

${\displaystyle g(z)=\sum _ {n=1}^{\infty }z^{n}\,}$

y la prueba M de Weierstrass para demostrar que el ejemplo simple define una función analítica en el disco unitario abierto.

La serie geométrica define una función analítica que converge en todas partes del disco unitario cerrado , excepto cuando z = 1, donde g ( z ) tiene un polo simple. ^{[ 4 ]} Y, dado que z  = e ^{i θ} para puntos en el círculo unitario, la serie geométrica se convierte en 

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,}$

en un z particular , | z | = 1. Desde esta perspectiva, entonces, los matemáticos que investigan las series lacunares se hacen la pregunta: ¿Cuánto tiene que distorsionarse la serie geométrica , recortando grandes secciones e introduciendo coeficientes a _k ≠ 1 , antes de que el objeto matemático resultante se transforme de una función meromorfa suave y agradable en algo que exhiba una forma primitiva de comportamiento caótico ?  

• continuación analítica
• Szolem Mandelbrojt
• Benoit Mandelbrot
• Conjunto de Mandelbrot
• Teorema de la brecha de Fabry
• Teorema de la brecha de Ostrowski-Hadamard

• Katusi Fukuyama y Shigeru Takahashi, Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 127 #2 pp.  599–608 (1999), "El teorema del límite central para series lacunares".
• Szolem Mandelbrojt y Edward Roy Cecil Miles, The Rice Institute Pamphlet , vol. 14 #4 pp.  261–284 (1927), "Funciones lacunares".
• ET Whittaker y GN Watson , Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Cambridge University Press, 1927.

• Fukuyama y Takahashi, 1999 Un artículo (PDF) titulado El teorema del límite central para series lacunares , de la AMS.
• Mandelbrojt y Miles, 1927. Un artículo (PDF) titulado Funciones lacunares , de la Universidad Rice.
• Artículo de MathWorld sobre funciones lacunares