Paquete L

En el campo de las matemáticas conocido como teoría de la representación , un paquete L es una colección de (clases de isomorfismo de) representaciones irreducibles de un grupo reductivo sobre un cuerpo local , que son L-indistinguibles , lo que significa que tienen el mismo parámetro de Langlands y, por lo tanto, tienen la misma función L y los mismos factores ε. Los paquetes L fueron introducidos por Robert Langlands en ( Langlands 1989 ) , ( Labesse y Langlands 1979 ) .

La clasificación de las representaciones irreducibles se divide en dos partes: primero, clasificar los paquetes L y, luego, clasificar las representaciones en cada paquete L. Las conjeturas locales de Langlands afirman (aproximadamente) que los paquetes L de un grupo reductivo G sobre un cuerpo local F están parametrizados conjeturalmente por ciertos homomorfismos del grupo de Langlands de F al grupo L de G , y Arthur ha dado una descripción conjetural de las representaciones en un paquete L dado.

Para representaciones irreducibles de grupos reductivos complejos conexos, Wallach demostró que todos los paquetes L contienen solo una representación. Los paquetes L, y por lo tanto las representaciones irreducibles, corresponden a cuasicaracteres de un subgrupo de Cartan , salvo conjugación bajo el grupo de Weyl .

Para grupos lineales generales sobre cuerpos locales , los paquetes L tienen solo una representación en ellos (salvo isomorfismo).

Un ejemplo de paquete L es el conjunto de representaciones de series discretas con un carácter infinitesimal dado y un carácter central dado . Por ejemplo, las representaciones de series discretas de SL ₂ ( R ) se agrupan en paquetes L con dos elementos.

Arthur (2006) propuso una parametrización conjetural de los elementos de un paquete L en términos de las componentes conexas de C / Z , donde Z es el centro del grupo L, C es el centralizador en el grupo L de Im(φ) y φ es el homomorfismo del grupo de Langlands al grupo L correspondiente al paquete L. Por ejemplo, en el grupo lineal general, el centralizador de cualquier subconjunto es conexo de Zariski, por lo que los paquetes L para el grupo lineal general tienen todos 1 elemento. Por otro lado, el centralizador de un subconjunto del grupo lineal general proyectivo puede tener más de 1 componente, lo que corresponde al hecho de que los paquetes L para el grupo lineal especial pueden tener más de 1 elemento.

• Arthur, James (2006), "Una nota sobre los paquetes L", Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (1): 199– 217, doi : 10.4310/pamq.2006.v2.n1.a9 , ISSN 1558-8599 , MR 2217572  
• Labesse, Jean-Pierre; Langlands, RP (1979), "L-indistinguibilidad para SL(2)", Canadian Journal of Mathematics , 31 (4): 726– 785, doi : 10.4153/CJM-1979-070-3 , ISSN 0008-414X , MR 0540902  
• Labesse, Jean-Pierre (2008), «Introducción a la endoscopia» (PDF) , en Arthur, James; Schmid, Wilfried; Trapa, Peter E. (eds.), Teoría de la representación de grupos de Lie reductivos reales , Contemp. Math., vol.  472, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 175–213 , ISBN  978-0-8218-4366-6, MR 2454335 
• Langlands, Robert P. (1989) [1973], "Sobre la clasificación de representaciones irreducibles de grupos algebraicos reales", en Sally, Paul J.; Vogan, David A. (eds.), Teoría de la representación y análisis armónico en grupos de Lie semisimples , Math. Surveys Monogr., vol.  31, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 101–170 , ISBN  978-0-8218-1526-7, MR 1011897