Conjeturas locales de Langlands

En matemáticas , las conjeturas locales de Langlands , introducidas por Robert Langlands , ^{[ 1 ] [ 2 ]} forman parte del programa de Langlands . Describen una correspondencia entre las representaciones complejas de un grupo algebraico reductivo .${\displaystyle G}$sobre un campo local${\displaystyle F}$y representaciones del grupo Langlands de${\displaystyle F}$en el${\displaystyle L}$-grupo de${\displaystyle G}$Esta correspondencia no es una biyección en general. Las conjeturas pueden considerarse una generalización de la teoría de cuerpos de clases locales desde grupos de Galois abelianos a grupos de Galois no abelianos.

Las conjeturas locales de Langlands para${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(K)}$se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría de cuerpos de clases locales . Más precisamente, el mapa de Artin da un isomorfismo del grupo ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(K)=K^{\times }}$a la abelianización del grupo de Weil . En particular, representaciones suaves irreducibles de${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(K)}$son unidimensionales ya que el grupo es abeliano, por lo que pueden identificarse con homomorfismos del grupo de Weil a${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$. Esto da la correspondencia de Langlands entre homomorfismos del grupo de Weil a${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$y representaciones suaves irreducibles de${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(K)}$.

Las representaciones del grupo de Weil no se corresponden exactamente con las representaciones suaves irreducibles de grupos lineales generales . Para obtener una biyección, hay que modificar ligeramente la noción de representación del grupo de Weil, a algo llamado representación de Weil-Deligne. Esta consiste en una representación del grupo de Weil en un espacio vectorial.${\displaystyle V}$junto con un endomorfismo nilpotente${\displaystyle N}$de${\displaystyle V}$de tal manera que${\displaystyle wNw^{-1}=\|w\|N}$o, equivalentemente, una representación del grupo de Weil-Deligne . Además, la representación del grupo de Weil debe tener un núcleo abierto y ser semisimple (de Frobenius).

Para cada complejo semisimple de Frobenius${\displaystyle n}$Representación de Weil-Deligne -dimensional${\displaystyle \rho }$del grupo Weil de${\displaystyle F}$Hay una función L${\displaystyle L(s,\rho )}$y un factor ε local${\displaystyle \varepsilon (s,\rho ,\psi )}$(dependiendo del personaje)${\displaystyle \psi }$de${\displaystyle F}$).

Las representaciones de${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$En la correspondencia local de Langlands aparecen representaciones complejas irreducibles y suaves.

• "Suave" significa que cada vector está determinado por algún subgrupo abierto.
• "Irreducible" significa que la representación no es cero y no tiene subrepresentaciones distintas de 0 y ella misma.

Las representaciones complejas irreducibles y suaves son automáticamente admisibles.

La clasificación de Bernstein-Zelevinsky reduce la clasificación de representaciones suaves irreducibles a representaciones cuspidales.

Para cada representación compleja admisible irreducible${\displaystyle \pi }$Hay una función L${\displaystyle L(s,\pi )}$y un local${\displaystyle \varepsilon }$-factor${\displaystyle \varepsilon (s,\pi,\psi)}$(dependiendo del personaje)${\displaystyle \psi }$de${\displaystyle F}$). De manera más general, si hay dos representaciones admisibles irreducibles${\displaystyle \pi }$y${\displaystyle \pi '}$En los grupos lineales generales, existen funciones L de convolución de Rankin-Selberg locales.${\displaystyle L(s,\pi \times \pi ')}$y${\displaystyle \varepsilon }$-factores${\displaystyle \varepsilon (s,\pi \times \pi ',\psi )}$.

Bushnell y Kutzko ^{[ 3 ]} describieron las representaciones admisibles irreducibles de grupos lineales generales sobre cuerpos locales.

La conjetura local de Langlands para${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$de un campo local dice que hay una biyección (única)${\displaystyle \pi }$desde representaciones semisimples de Weil-Deligne bidimensionales del grupo de Weil hasta representaciones suaves irreducibles de${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(F)}$que preserva las funciones L ,${\displaystyle \varepsilon }$-factores, y conmuta con torsión por caracteres de${\displaystyle F^{\times }}$.

Jacquet y Langlands ^{[ 4 ]} verificaron las conjeturas locales de Langlands para${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$en el caso en que el campo residual no tenga característica 2. En este caso, las representaciones del grupo de Weil son todas de tipo cíclico o diedral.

Gelfand y Graev (1962) clasificaron las representaciones irreducibles suaves de${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(F)}$cuando${\displaystyle F}$tiene característica de residuo impar (véase también ( Gelfand, Graev y Pyatetskii-Shapiro 1969 , capítulo 2) ), y afirmó incorrectamente que la clasificación para característica de residuo par difiere solo de manera insignificante del caso de característica de residuo impar. Weil ^{[ 5 ]} señaló que cuando el campo de residuos tiene característica 2, hay algunas representaciones bidimensionales excepcionales adicionales del grupo de Weil cuya imagen en${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$es de tipo tetraédrico u octaédrico. (Para las conjeturas globales de Langlands, las representaciones bidimensionales también pueden ser de tipo icosaédrico, pero esto no puede ocurrir en el caso local ya que los grupos de Galois son resolubles ).

Tunnell ^{[ 6 ]} demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general.${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(K)}$sobre los números 2-ádicos y sobre cuerpos locales que contienen una raíz cúbica de la unidad . Kutzko ^{[ 7 ]} demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general.${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(K)}$en todos los campos locales.

Cartier , ^{[ 8 ]} así como Bushnell y Henniart , ^{[ 9 ]} dieron exposiciones de la demostración.

Las conjeturas locales de Langlands para grupos lineales generales afirman que existen biyecciones únicas.${\displaystyle \pi \leftrightarrow \rho _{\pi }}$a partir de clases de equivalencia de representaciones admisibles irreducibles${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$a clases de equivalencia de complejos semisimples de Frobenius continuos${\displaystyle n}$Representaciones de Weil-Deligne -dimensionales${\displaystyle \rho _{\pi }}$del grupo Weil de${\displaystyle F}$que preservan las funciones L y${\displaystyle \varepsilon }$-factores de pares de representaciones, y coinciden con el mapa de Artin para representaciones unidimensionales . En otras palabras,

• ${\displaystyle L(s,\rho _{\pi }\otimes \rho _{\pi '})=L(s,\pi \times \pi ')}$
• ${\displaystyle \varepsilon (s,\rho _{\pi }\otimes \rho _{\pi '},\psi )=\varepsilon (s,\pi \times \pi ',\psi ).}$

Laumon , Rapoport y Stuhler ^{[ 10 ]} demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general.${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$para campos locales de características positivas${\displaystyle K}$. Carayol ^{[ 11 ]} dio una exposición de su trabajo.

Harris y Taylor ^{[ 12 ]} demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general.${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$para campos locales de característica 0${\displaystyle K}$. Henniart ^{[ 13 ]} dio otra prueba. Carayol ^{[ 14 ]} y Wedhorn ^{[ 15 ]} dieron exposiciones de su trabajo.

Borel ^{[ 16 ]} y Vogan ^{[ 17 ]} analizan las conjeturas de Langlands para grupos más generales. Las conjeturas de Langlands para grupos reductivos arbitrarios${\displaystyle G}$son más complicados de enunciar que los de los grupos lineales generales, y no está claro cuál debería ser la mejor manera de enunciarlos. En términos generales, las representaciones admisibles de un grupo reductivo se agrupan en conjuntos finitos disjuntos llamados L -paquetes, que deberían corresponder a algunas clases de homomorfismos, llamados L -parámetros, del grupo de Langlands local al grupo L de${\displaystyle G}$Algunas versiones anteriores utilizaban el grupo de Weil-Deligne o el grupo de Weil en lugar del grupo de Langlands local, lo que da como resultado una forma ligeramente más débil de la conjetura.

Langlands ^{[ 18 ]} demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} }$al dar la clasificación de Langlands de sus representaciones irreducibles admisibles (hasta equivalencia infinitesimal), o, equivalentemente, de sus representaciones irreducibles${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-módulos .

Gan y Takeda ^{[ 19 ]} demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo de similitud simpléctica${\displaystyle \operatorname {GSp} (4)}$y usó eso para deducirlo para el grupo simpléctico${\displaystyle \operatorname {Sp} (4)}$. ^{[ 20 ]}

• Harris, Michael (2000), La correspondencia local de Langlands (PDF) , Apuntes de (la mitad de) un curso en el IHP
• La obra de Robert Langlands
• Formas automórficas: la conjetura local de Langlands. Conferencia de Richard Taylor.