Par pedido

Norbert Wiener propuso la primera definición teórica de conjuntos del par ordenado en 1914: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$$ Observó que esta definición permitía definir los tipos de Principia Mathematica como conjuntos. Principia Mathematica había tomado los tipos, y por lo tanto las relaciones de todas las aridades , como primitivas .

Wiener usó {{ b }} en lugar de { b } para hacer que la definición fuera compatible con la teoría de tipos donde todos los elementos de una clase deben ser del mismo "tipo". Con b anidado dentro de un conjunto adicional, su tipo es igual a${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$'s.

Casi al mismo tiempo que Wiener (1914), Felix Hausdorff propuso su definición: $${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$$ "donde 1 y 2 son dos objetos distintos diferentes de a y b." ^{[ 8 ]}

En 1921, Kazimierz Kuratowski ofreció la definición ahora aceptada ^{[ 9 ] [ 10 ]} del par ordenado ( a , b ): $${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$$ Cuando la primera y la segunda coordenada son idénticas, se obtiene la siguiente definición: $${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$$

Dado un par ordenado p , la propiedad " x es la primera coordenada de p " se puede formular como: $${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$$ La propiedad " x es la segunda coordenada de p " se puede formular como: $${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2}).}$$ En el caso de que las coordenadas izquierda y derecha sean idénticas, la conjunción derecha${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2})}$es trivialmente cierto, ya que${\displaystyle Y_{1}=Y_{2}}$es el caso.

Si${\displaystyle p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$entonces:

${\displaystyle \bigcap p=\bigcap {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cap \{x,y\}=\{x\},}$

${\displaystyle \bigcup p=\bigcup {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cup \{x,y\}=\{x,y\}.}$

Así es como podemos extraer la primera coordenada de un par (utilizando la notación de operación iterada para intersección arbitraria y unión arbitraria ): $${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p=\bigcup \{x\}=x.}$$

Así es como se puede extraer la segunda coordenada: $${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.a\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow a\notin \bigcap p\right\}=\bigcup \left\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\}\neq \{x\}\rightarrow a\notin \{x\}\right\}=\bigcup \{y\}=y.}$$

(si${\displaystyle x\neq y}$, entonces el conjunto${\displaystyle \{y\}}$podría obtenerse de forma más sencilla:${\displaystyle \{y\}=\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,a\notin \{x\}\}}$, pero la fórmula anterior también tiene en cuenta el caso en que${\displaystyle x=y}$.)

Tenga en cuenta que${\displaystyle \pi _{1}}$y${\displaystyle \pi _{2}}$son funciones generalizadas , en el sentido de que sus dominios y codominios son clases propias .

Rosser (1953) ^{[ 14 ]} empleó una definición del par ordenado debida a Quine que requiere una definición previa de los números naturales . Sea${\displaystyle \mathbb {N} }$Sea el conjunto de los números naturales y definamos primero $${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} ,\\x+1,&{\text{if }}x\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$$ La función${\displaystyle \sigma }$incrementa su argumento si es un número natural y lo deja como está en caso contrario; el número 0 no aparece en el rango de${\displaystyle \sigma }$. Como${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$es el conjunto de los elementos de${\displaystyle x}$no en${\displaystyle \mathbb {N} }$continuar con $${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$$ Esta es la imagen del conjunto de un conjunto${\displaystyle x}$bajo${\displaystyle \sigma }$, a veces denotado por${\displaystyle \sigma ''x}$También. Aplicando función${\displaystyle \varphi }$A un conjunto x simplemente se incrementa cada número natural en él. En particular,${\displaystyle \varphi (x)}$nunca contiene el número 0, de modo que para cualesquiera conjuntos x e y , $${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$$ Además, defina $${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$$ Por esto,${\displaystyle \psi (x)}$siempre contiene el número 0.

Finalmente, definimos el par ordenado ( A , B ) como la unión disjunta. $${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$$ (que es${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$en notación alternativa).

Extraer todos los elementos del par que no contienen 0 y deshacer${\displaystyle \varphi }$produce A. Del mismo modo, B se puede recuperar a partir de los elementos del par que contienen 0. ^{[ 15 ]}

Por ejemplo, el par${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$está codificado como${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$proporcionó${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$.

En la teoría de tipos y en sus ramificaciones, como la teoría axiomática de conjuntos NF , el par de Quine-Rosser tiene el mismo tipo que sus proyecciones y, por lo tanto, se denomina par ordenado de "nivel de tipo". De ahí que esta definición tenga la ventaja de permitir que una función , definida como un conjunto de pares ordenados, tenga un tipo solo 1 superior al tipo de sus argumentos. Esta definición solo funciona si el conjunto de los números naturales es infinito. Este es el caso en NF , pero no en la teoría de tipos ni en NFU . J. Barkley Rosser demostró que la existencia de un par ordenado de este tipo (o incluso un par ordenado de "elevación de tipo en 1") implica el axioma de infinito . Para una discusión extensa del par ordenado en el contexto de las teorías de conjuntos quinianas, véase Holmes (1998). ^{[ 16 ]}

Al principio del desarrollo de la teoría de conjuntos, antes de que se descubrieran las paradojas, Cantor siguió a Frege definiendo el par ordenado de dos conjuntos como la clase de todas las relaciones que se cumplen entre estos conjuntos, asumiendo que la noción de relación es primitiva: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$$

Esta definición es inadmisible en la mayoría de las teorías de conjuntos formalizadas modernas y es metodológicamente similar a definir el cardinal de un conjunto como la clase de todos los conjuntos equipotentes con el conjunto dado. ^{[ 18 ]}

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley hace un uso libre de las clases propias . ^{[ 19 ]} Morse definió el par ordenado de manera que sus proyecciones pudieran ser clases propias además de conjuntos. (La definición de Kuratowski no permite esto). Primero definió pares ordenados cuyas proyecciones son conjuntos a la manera de Kuratowski. Luego redefinió el par. $${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$$ donde los productos cartesianos componentes son pares de conjuntos de Kuratowski y donde $${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$$

Esto hace posibles pares cuyas proyecciones son clases propias. La definición de Quine-Rosser anterior también admite clases propias como proyecciones. De manera similar, la tripleta se define como una 3-tupla de la siguiente manera: $${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$$

El uso del conjunto singleton${\displaystyle s(x)}$que tiene un conjunto vacío insertado permite que las tuplas tengan la propiedad de unicidad de que si a es una n- tupla y b es una m- tupla y a = b entonces n = m . Las ternas ordenadas que se definen como pares ordenados no tienen esta propiedad con respecto a los pares ordenados.